Cálculo Ejemplos

$e^{- y} \sin (x) - \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $e^{- y} \sin (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$ por $- \cos^{2} (x)$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$ por $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $\cos^{2} (x)$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.1.2.3.2

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Paso 1.1.2.3.3

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 1.1.2.3.4

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{\cos (x)} \tan (x)$

Paso 1.1.2.3.5

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Paso 1.1.2.3.6

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{1} \sec (x) \tan (x)$

Paso 1.1.2.3.7

Divide $e^{- y}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec (x) \tan (x)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec (x) \tan (x))$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $e^{- y}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $e^{- y}$ de $e^{- y} \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec (x) \tan (x)))$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec (x) \tan (x)))$

Paso 1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{- y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 2.2.1.2.1.2

Multiplica $- y \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.1.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 2.2.1.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 2.2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Paso 2.3

Como la derivada de $\sec (x)$ es $\sec (x) \tan (x)$ , la integral de $\sec (x) \tan (x)$ es $\sec (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \sec (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y} = \sec (x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\sec (x) + K)$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\sec (x) + K)$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\sec (x) + K)$

Paso 3.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (\sec (x) + K)$