Cálculo Ejemplos

$x d y + (x y + y - 1) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$(x y + y - 1) d x + x d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x y + y - 1$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y - 1]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 0$

Paso 2.4.3

Suma $x + 1$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $x + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 1 = 1$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$x + 1 = 1$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $x + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 5.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x + 1 - 1}{N}$

Paso 5.3

Sustituye $x$ por $N$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $x$ por $N$ .

$\frac{x + 1 - 1}{x}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{x + 0}{x}$

Paso 5.3.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{x}{x}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{x}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$1$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int d x}$ .

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Paso 6.1

Aplica la regla de la constante.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Paso 6.2

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $(x y + y - 1) d x + x d y = 0$ por el factor integrador $e^{x}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $x y + y - 1$ por $e^{x}$ .

$(x y + y - 1) e^{x} d x + x d y = 0$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x y e^{x} + y e^{x} - 1 e^{x}) d x + x d y = 0$

Paso 7.3

Reescribe $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $x$ por $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x e^{x} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = x e^{x}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x e^{x} y + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{x} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ .

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Paso 12.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x e^{x} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Paso 12.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Paso 12.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Paso 12.3.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Paso 12.5

Simplifica.

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Paso 12.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Paso 12.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Paso 12.5.3

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 13.1.1

Resta $x y e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x}$

Paso 13.1.2

Resta $y e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Paso 13.1.3

Combina los términos opuestos en $x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

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Paso 13.1.3.1

Resta $x y e^{x}$ de $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

Paso 13.1.3.2

Suma $0$ y $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

Paso 13.1.3.3

Resta $y e^{x}$ de $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

Paso 13.1.3.4

Resta $e^{x}$ de $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- e^{x}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - e^{x} d x$

Paso 14.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

Paso 14.4

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$g (x) = - (e^{x} + C)$

Paso 14.5

Simplifica.

$g (x) = - e^{x} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$

Paso 16

Reordena los factores en $f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} - e^{x} + C$