Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Reordena $y^{2}$ y $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reescribe $- x^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\arctan (y) = - \frac{1}{x} + K$

Paso 3

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (- \frac{1}{x} + K)$