Cálculo Ejemplos

$4 x y^{2} d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Paso 1

Resta $4 x y^{2} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y^{2} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2})} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Paso 3.3

Combina $- 4$ y $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $y^{2}$ de $(x^{2} + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (x y^{2}) d x$

Paso 3.4.2

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

Paso 3.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

Paso 3.5

Combina $\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ y $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.2.3

Reescribe $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.3.4

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.4.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 4.3.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 4.3.4.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 4.3.5

Simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 4.3.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 4.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 4.3.7

Simplifica.

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Paso 4.3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 4.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 4.3.9

Simplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 4.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{y} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Simplifica $- 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1$

Paso 5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Paso 5.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Elimina el valor absoluto en ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$

Paso 5.3.3.2

Reordena los factores en $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Reescribe la ecuación como $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$ .

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$

Paso 5.4.2

Factoriza $y$ de $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$ .

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $y$ de $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C y = - 1$

Paso 5.4.2.2

Factoriza $y$ de $C y$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C = - 1$

Paso 5.4.2.3

Factoriza $y$ de $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

Paso 5.4.3

Reescribe $- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ como $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

Paso 5.4.4

Divide cada término en $y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ por $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ y simplifica.

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Paso 5.4.4.1

Divide cada término en $y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ por $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Paso 5.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.4.2.1

Cancela el factor común de $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ .

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Paso 5.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Paso 5.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Paso 5.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Paso 5.4.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C}$

Paso 5.4.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)}$

Paso 5.4.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

Paso 5.4.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.4.3.5.1

Reescribe $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ como $- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

Paso 5.4.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - - \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Paso 5.4.4.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Paso 5.4.4.3.5.4

Multiplica $\frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$