Cálculo Ejemplos

$(2 x + 3) \frac{d y}{d x} = y + {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$(2 x + 3) \frac{d y}{d x} - y = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2

Divide cada término en $(2 x + 3) \frac{d y}{d x} - y = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por $2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) \frac{d y}{d x}}{2 x + 3} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $2 x + 3$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x + 3) \frac{d y}{d x}}{2 x + 3} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

Paso 1.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

Paso 1.4

Factoriza $2 x + 3$ de ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2 x + 3}$

Paso 1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{(2 x + 3) \cdot 1}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{(2 x + 3) \cdot 1}$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = \frac{{(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Paso 1.5.4

Divide ${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x + 3} = {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.6

Factoriza $y$ de $\frac{- y}{2 x + 3}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{2 x + 3} = {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.7

Reordena $y$ y $\frac{- 1}{2 x + 3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2 x + 3} y = {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{- 1}{2 x + 3}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 1}{2 x + 3} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{- 1}{2 x + 3}$ .

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Paso 2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\int - \frac{1}{2 x + 3} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{2 x + 3} d x}$

Paso 2.2.3

Sea $u = 2 x + 3$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.3.1

Deja $u = 2 x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Diferencia $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Paso 2.2.3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.2.3.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.3.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.3.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.3.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.2.3.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Paso 2.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$e^{- \int \frac{1}{2 u} d u}$

Paso 2.2.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C}$

Paso 2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 3$ .

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (2 x + 3)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln ({(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x + 3} y) = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{1}{2 x + 3}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x + 3} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.5

Multiplica $- \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x + 3}$ .

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{y}{2 x + 3}$ por $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $2 x + 3$ por ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.5.2.1

Multiplica $2 x + 3$ por ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.2.5.2.1.1

Eleva $2 x + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.5.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.5.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{2 + 1}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.2.5.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de ${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza ${(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ de ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}} {(2 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{{(2 x + 3)}^{1}} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Simplifica.

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x + 3} d x$

Paso 7.2

Sea $u = 2 x + 3$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.2.1

Deja $u = 2 x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Diferencia $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Paso 7.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 7.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 7.2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 7.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 7.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 7.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 7.2.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 7.2.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 7.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 7.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 7.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 7.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Paso 7.6

Simplifica.

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Paso 7.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 3$ .

$\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |) + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $y$ .

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |) + C$

Paso 8.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 3 |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} = (\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} = (\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica $(\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.4.2.1.2.1

Reordena los factores en $\ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}}) + C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.4.2.1.2.2

Reordena ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}})$ y $C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = C {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \ln ({| 2 x + 3 |}^{\frac{1}{2}})$