Cálculo Ejemplos

$\frac{d h}{d t} = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d h = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d h = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$h + C_{1} = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $17.6$ es constante con respecto a $t$ , mueve $17.6$ fuera de la integral.

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Paso 2.3.2

Sea $u = 17.6 t^{2} + 1$ . Entonces $d u = 35.2 t d t$ , de modo que $\frac{1}{35.2} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 17.6 t^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $17.6 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2} + 1]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $17.6 t^{2} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $17.6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $17.6 t^{2}$ con respecto a $t$ es $17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$17.6 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $17.6$ .

$35.2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$35.2 t + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $35.2 t$ y $0$ .

$35.2 t$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{35.2} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{35.2}$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 35.2} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $35.2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{35.2 \sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{35.2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{35.2}$ fuera de la integral.

$h + C_{1} = 17.6 (\frac{1}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 2.3.5

Combina fracciones.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{35.2}$ y $17.6$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2.3.5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.5.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.5.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.5.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.3.5.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $\frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$ .

$h + C_{1} = 0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $2$ por $0.5$ .

$h + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Multiplica $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$h + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $17.6 t^{2} + 1$ .

$h + C_{1} = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$h = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$