Cálculo Ejemplos

$x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

Paso 1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.1

Reordena los factores en $x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x})$ .

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

Paso 1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) - y \sin (\frac{y}{x}) = - x$

Paso 1.2.2

Suma $y \sin (\frac{y}{x})$ a ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$

Paso 1.3

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ por $x \sin (\frac{y}{x})$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ por $x \sin (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común de $\sin (\frac{y}{x})$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.3.1.2

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.3.1.3

Convierte de $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ a $\csc (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.3.1.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.3.1.5

Cancela el factor común de $\sin (\frac{y}{x})$ .

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Paso 1.3.3.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.3.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (V) + V$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \csc (V) + V$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + V - V$

Paso 6.1.1.1.2

Combina los términos opuestos en $- \csc (V) + V - V$ .

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Paso 6.1.1.1.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + 0$

Paso 6.1.1.1.2.2

Suma $- \csc (V)$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$

Paso 6.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Paso 6.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Paso 6.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Paso 6.1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{\csc (V)}{x}$

Paso 6.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\csc (V)}$ .

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc (V)} (- \frac{\csc (V)}{x})$

Paso 6.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Paso 6.1.3.2

Cancela el factor común de $\csc (V)$ .

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Paso 6.1.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{\csc (V)}$ al numerador.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Paso 6.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Paso 6.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Paso 6.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\csc (V)} d V = - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\csc (V)} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica.

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Paso 6.2.2.1.1

Reescribe $\csc (V)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (V)}$ .

$\int 1 \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.3

Multiplica $\sin (V)$ por $1$ .

$\int \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

La integral de $\sin (V)$ con respecto a $V$ es $- \cos (V)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \cos (V) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 6.2.3.3

Simplifica.

$- \cos (V) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.1.1

Divide cada término en $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (V)}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (V)}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.3.1.2.2

Divide $\cos (V)$ por $1$ .

$\cos (V) = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cos (V) = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.3.1.3.1.2

Divide $\ln (| x |)$ por $1$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.3.1.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Paso 6.3.1.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) - C$

Paso 6.3.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $V$ del interior del coseno.

$V = \arccos (\ln (| x |) - C)$

Paso 6.4

Simplifica la constante de integración.

$V = \arccos (\ln (| x |) + C)$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Reordena los factores en $\arccos (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arccos (\ln (| x |) + C)$