Cálculo Ejemplos

$(4 x^{3} y - 15 x^{2} - y) d x + (x^{4} + 3 y^{2} - x) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 4 x^{3} y - 15 x^{2} - y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{3} y - 15 x^{2} - y]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} y - 15 x^{2} - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [4 x^{3} y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $4 x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 x^{3} y$ con respecto a $y$ es $4 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.4

Como $- 15 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 15 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Paso 1.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + 0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + 0 - 1$

Paso 1.6

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} - 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{4} + 3 y^{2} - x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 y^{2} - x]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 3 y^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2.3

Como $3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0 - 1 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0 - 1$

Paso 2.4

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $4 x^{3} - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $4 x^{3} - 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x^{3} - 1 = 4 x^{3} - 1$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$4 x^{3} - 1 = 4 x^{3} - 1$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{3} y - 15 x^{2} - y d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 4 x^{3} y - 15 x^{2} - y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 4 x^{3} y d x + \int - 15 x^{2} d x + \int - y d x$

Paso 5.2

Dado que $4 y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4 y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 4 y \int x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int - y d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 4 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 15 x^{2} d x + \int - y d x$

Paso 5.4

Dado que $- 15$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 15$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 4 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 \int x^{2} d x + \int - y d x$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y d x$

Paso 5.6

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 4 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y x + C$

Paso 5.7

Simplifica.

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Paso 5.7.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$f (x, y) = 4 y (\frac{x^{4}}{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y x + C$

Paso 5.7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 y (\frac{x^{4}}{4} + C) - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - y x + C$

Paso 5.8

Simplifica.

$f (x, y) = y x^{4} - 5 x^{3} - y x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{4} - 5 x^{3} - y x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{4} - 5 x^{3} - y x + g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y x^{4} - 5 x^{3} - y x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y x^{4}]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x^{4}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y x^{4}$ con respecto a $y$ es $x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Paso 8.3.3

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Paso 8.4

Como $- 5 x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 5 x^{3}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$x^{4} + 0 + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Paso 8.5

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y x]$ .

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Paso 8.5.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y x$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{4} + 0 - x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Paso 8.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{4} + 0 - x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Paso 8.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{4} + 0 - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Paso 8.6

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{4} + 0 - x + \frac{d g}{d y} = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Paso 8.7

Simplifica.

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Paso 8.7.1

Suma $x^{4}$ y $0$ .

$x^{4} - x + \frac{d g}{d y} = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Paso 8.7.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x^{4} - x = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $x^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - x = x^{4} + 3 y^{2} - x - x^{4}$

Paso 9.1.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x^{4} + 3 y^{2} - x - x^{4} + x$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $x^{4} + 3 y^{2} - x - x^{4} + x$ .

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Paso 9.1.3.1

Resta $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - x + 0 + x$

Paso 9.1.3.2

Suma $3 y^{2} - x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - x + x$

Paso 9.1.3.3

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 0$

Paso 9.1.3.4

Suma $3 y^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $3 y^{2}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} d y$

Paso 10.3

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$g (y) = 1 y^{3} + C$

Paso 10.5.2.3

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$g (y) = y^{3} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y x^{4} - 5 x^{3} - y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{4} - 5 x^{3} - y x + y^{3} + C$