Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{y - 3}{4 y}$ .

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} (\frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{4 y}{y - 3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $y - 3$ de $(y - 3) x$ .

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) (x)}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $4 y$ .

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Paso 1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

Paso 1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{y - 3}{4 y} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y - 3}{4 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{y - 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Divide $y - 3$ por $y$ .

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Paso 2.2.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$0$

$y$

$3$

Paso 2.2.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

Paso 2.2.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

Paso 2.2.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y + 0$ .

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

Paso 2.2.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

Paso 2.2.2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{1}{4} \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{4} (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.6

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.8

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.9

Simplifica.

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) = \ln (| x |) + C$