Cálculo Ejemplos

$(x y + y + y^{2}) d x + (x + 2 y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x y + y + y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y + y^{2}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + y + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 2 y$

Paso 1.4.3

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y + 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x + 2 y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.4

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Paso 2.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $x + 2 y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 2 y + 1 = 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$x + 2 y + 1 = 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $x + 2 y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - 1}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $x + 2 y$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x + 2 y$ por $N$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - 1}{x + 2 y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{x + 2 y + 0}{x + 2 y}$

Paso 4.3.2.2

Suma $x + 2 y$ y $0$ .

$\frac{x + 2 y}{x + 2 y}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x + 2 y$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 2 y}{x + 2 y}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$1$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int d x}$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la constante.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Paso 5.2

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(x y + y + y^{2}) d x + (x + 2 y) d y = 0$ por el factor integrador $e^{x}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x y + y + y^{2}$ por $e^{x}$ .

$(x y + y + y^{2}) e^{x} d x + (x + 2 y) d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $x + 2 y$ por $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y) e^{x} d y = 0$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x e^{x} + 2 y e^{x}) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 y e^{x} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = x e^{x} + 2 y e^{x}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int x e^{x} d y + \int 2 y e^{x} d y$

Paso 8.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + \int 2 y e^{x} d y$

Paso 8.3

Dado que $2 e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2 e^{x}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} \int y d y$

Paso 8.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 8.5

Simplifica.

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} e^{x} y^{2} + C$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Paso 8.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.6.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = x e^{x} y + \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Paso 8.6.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = x e^{x} y + 1 e^{x} y^{2} + C$

Paso 8.6.3

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ .

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Paso 11.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x e^{x} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Paso 11.3.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Paso 11.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

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Paso 11.4.1

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{x} y^{2}$ con respecto a $x$ es $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Paso 11.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Paso 11.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Paso 11.6

Simplifica.

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Paso 11.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Paso 11.6.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y + e^{x} y^{2} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Paso 11.6.3

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y + e^{x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $x y e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x}$

Paso 12.1.2

Resta $y e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Paso 12.1.3

Resta $y^{2} e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Paso 12.1.4

Combina los términos opuestos en $x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

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Paso 12.1.4.1

Resta $x y e^{x}$ de $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + y^{2} e^{x} + 0 - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Paso 12.1.4.2

Suma $y e^{x} + y^{2} e^{x}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + y^{2} e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Paso 12.1.4.3

Resta $y e^{x}$ de $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} + 0 - y^{2} e^{x}$

Paso 12.1.4.4

Suma $y^{2} e^{x}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - y^{2} e^{x}$

Paso 12.1.4.5

Resta $y^{2} e^{x}$ de $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Paso 13.3

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Paso 13.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (x) = C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$

Paso 15

Reordena los factores en $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + y^{2} e^{x} + C$