Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1^{2}}$

Paso 1.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 1.2.2

Multiplica $y^{2} - 1$ por $\frac{3 x + 2}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 1.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1^{2}) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 1.2.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 1.2.4.1

Cancela el factor común.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x + 2)}{y - 1}$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 1.2.5.1

Cancela el factor común.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x + 2)}{y - 1}$

Paso 1.2.5.2

Divide $3 x + 2$ por $1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 3 x + 2$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(y^{2} - 1) d y = (3 x + 2) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{2} d y + \int - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - y + C_{2} = \int 3 x + 2 d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int 3 x + 2 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int 3 x d x + \int 2 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 \int x d x + \int 2 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 2 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 2 x + C_{5}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 2 x + C_{5}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C_{6}$

Paso 2.3.5.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y = \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + K$