Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2 y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{2 y})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{2 y}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{2 y}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y \cdot 2}$

Paso 1.2.2.3

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y \cdot 2}$

Paso 1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = - \frac{x}{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int - \frac{x}{2} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{2} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int x d x)$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{4} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{1}{4} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{4}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{4} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{4}) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{4}$ al numerador.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{4} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2 (2)} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + 2 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + 2 K}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $2 K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + 2 K \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 3.4.2

Combina $2 K$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 K \cdot 2}{2}}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} + 2 K \cdot 2}{2}}$

Paso 3.4.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} + 4 K}{2}}$

Paso 3.4.5

Reescribe $\sqrt{\frac{- x^{2} + 4 K}{2}}$ como $\frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4.6

Multiplica $\frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.4.8

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{2} + 4 K) \cdot 2}}{2}$

Paso 3.4.9

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(- x^{2} + 4 K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K)}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K)}}{2}$