Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} + y = e^{- t}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = 1$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int d t}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{t + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{t}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{t}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} e^{- t}$

Paso 2.2

Multiplica $e^{t}$ por $e^{- t}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t - t}$

Paso 2.2.2

Resta $t$ de $t$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{0}$

Paso 2.3

Simplifica $e^{0}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = 1$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = 1$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = 1$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = 1$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{t} y = \int d t$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$e^{t} y = t + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{t} y = t + C$ por $e^{t}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{t} y = t + C$ por $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{t}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$