Cálculo Ejemplos

$x^{2} d y + (x y + x^{2}) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x y + x^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x^{2}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + x^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Paso 2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{2}$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$x = 2 x$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 5.2

Sustituye $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (2 x)}{N}$

Paso 5.3

Sustituye $x^{2}$ por $N$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $x^{2}$ por $N$ .

$\frac{x - (2 x)}{x^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $x$ de $x - 1 \cdot 2 x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Paso 5.3.2.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Paso 5.3.2.1.3

Factoriza $x$ de $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Paso 5.3.2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (1 - 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (1 - 2)}{x^{2}}$

Paso 5.3.2.3

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{x^{2}}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $x$ de $x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 1)}{x^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x (- 1)}{x \cdot x}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot - 1}{x \cdot x}$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x}$

Paso 5.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 6.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Paso 6.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Paso 6.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1

Simplifica $- \ln (| x |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Paso 6.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $x y + x^{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$(x y + x^{2}) \frac{1}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Paso 7.2

Multiplica $x y + x^{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Paso 7.3

Factoriza $x$ de $x y + x^{2}$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{x (y) + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Paso 7.3.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x (y) + x \cdot x}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Paso 7.3.3

Factoriza $x$ de $x (y) + x \cdot x$ .

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Paso 7.4.2

Divide $y + x$ por $1$ .

$(y + x) d x + x^{2} d y = 0$

Paso 7.5

Multiplica $x^{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$(y + x) d x + x^{2} \frac{1}{x} d y = 0$

Paso 7.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Paso 7.6.2

Cancela el factor común.

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Paso 7.6.3

Reescribe la expresión.

$(y + x) d x + x d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = x$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x y + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y + x$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = y + x$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 12.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Paso 12.3.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = y + x$

Paso 12.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + y = y + x$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 13.1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = y + x - y$

Paso 13.1.2

Combina los términos opuestos en $y + x - y$ .

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Paso 13.1.2.1

Resta $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Paso 13.1.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $x$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Paso 14.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 16

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = x y + \frac{x^{2}}{2} + C$