Cálculo Ejemplos

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $3 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x y$ con respecto a $y$ es $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.4.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Paso 1.5.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.5.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.6

Como $6 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2 + 0$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Suma $4 y + 3 x - 2$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 3 x - 2$

Paso 1.7.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 4 y - 2$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x (x + 2 y - 1)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2 y - 1)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 2 y - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 2 y - 1] + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2 y - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y - 1) \cdot 1$

Paso 2.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.3.8.1

Multiplica $x + 2 y - 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 2 y - 1$

Paso 2.3.8.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3 x + 4 y - 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x + 2 y - 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x + 4 y - 2 = 2 x + 2 y - 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$3 x + 4 y - 2 = 2 x + 2 y - 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $3 x + 4 y - 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $2 x + 2 y - 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x + 2 y - 1)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $x (x + 2 y - 1)$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x (x + 2 y - 1)$ por $N$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x + 2 y - 1)}{x (x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 4 y - 2 - (2 x) - (2 y) - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - (2 y) - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - 2 y - - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 y - 2 - 2 x - 2 y + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.3

Resta $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x + 4 y - 2 - 2 y + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.4

Resta $2 y$ de $4 y$ .

$\frac{x + 2 y - 2 + 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.5

Suma $- 2$ y $1$ .

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x + 2 y - 1$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 2 y - 1}{x (x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Paso 5.1

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.2.1

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Paso 5.2.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = | x | + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$ por el factor integrador $x$ .

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Paso 6.1

Multiplica $2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x$ por $x$ .

$(2 y^{2} + 3 x y - 2 y + 6 x) x d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 y^{2} x + 3 x y x - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.1

Mueve $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 (x \cdot x) y - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x \cdot x) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.3.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.2.1

Mueve $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 (x \cdot x)) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $x (x + 2 y - 1)$ por $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x (x + 2 y - 1) x d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1

Mueve $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x \cdot x (x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + x^{2} (x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} x + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Paso 6.7

Simplifica.

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Paso 6.7.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.7.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.7.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2} x^{1} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Paso 6.7.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{2 + 1} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Paso 6.7.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Paso 6.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) d y = 0$

Paso 6.7.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) d y = 0$

Paso 6.8

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$(2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2}) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = x^{3} + 2 x^{2} y - x^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int x^{3} d y + \int 2 x^{2} y d y + \int - x^{2} d y$

Paso 8.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x^{3} y + C + \int 2 x^{2} y d y + \int - x^{2} d y$

Paso 8.3

Dado que $2 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2 x^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} \int y d y + \int - x^{2} d y$

Paso 8.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x^{2} d y$

Paso 8.5

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x^{2} y + C$

Paso 8.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - x^{2} y + C$

Paso 8.7

Simplifica.

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Paso 11.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{3} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Paso 11.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Paso 11.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Paso 11.4.1

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Paso 11.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y x^{2} + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Paso 11.4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Paso 11.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Paso 11.5.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2} y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Paso 11.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Paso 11.5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Paso 11.6

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Paso 11.7

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 2 y^{2} x - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $3 x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y$

Paso 12.1.2

Resta $2 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Paso 12.1.3

Suma $2 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x + 2 x y$

Paso 12.1.4

Combina los términos opuestos en $2 y^{2} x + 3 x^{2} y - 2 y x + 6 x^{2} - 3 x^{2} y - 2 y^{2} x + 2 x y$ .

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Paso 12.1.4.1

Resta $3 x^{2} y$ de $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2} + 0 - 2 y^{2} x + 2 x y$

Paso 12.1.4.2

Suma $2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x - 2 y x + 6 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 x y$

Paso 12.1.4.3

Resta $2 y^{2} x$ de $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y x + 6 x^{2} + 0 + 2 x y$

Paso 12.1.4.4

Suma $- 2 y x + 6 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y x + 6 x^{2} + 2 x y$

Paso 12.1.4.5

Reordena los factores en los términos $- 2 y x$ y $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x^{2} + 2 x y$

Paso 12.1.4.6

Suma $- 2 x y$ y $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 0$

Paso 12.1.4.7

Suma $6 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $6 x^{2}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x^{2} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x^{2} d x$

Paso 13.3

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$g (x) = 6 \int x^{2} d x$

Paso 13.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 13.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.5.1

Reescribe $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Paso 13.5.2

Simplifica.

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Paso 13.5.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{6}{3} x^{3} + C$

Paso 13.5.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 13.5.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C$

Paso 13.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.5.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C$

Paso 13.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Paso 13.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{3} + C$

Paso 13.5.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$g (x) = 2 x^{3} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{2} y^{2} - x^{2} y + 2 x^{3} + C$