Cálculo Ejemplos

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (x)$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $(x + 1) y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Paso 1.6

Suma $1$ y $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Paso 1.7

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Paso 1.8

Reordena $y$ y $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Paso 1.9

Multiplica $y$ por $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (x)$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (x) d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$(x + 1) y = \int \ln (x) d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

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Paso 5.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 1$ .

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Paso 5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int d x$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$(x + 1) y = \ln (x) x - (x + C)$

Paso 5.4

Simplifica.

$(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$

Paso 6

Divide cada término en $(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$ por $x + 1$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$ por $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\ln (x) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\ln (x) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 6.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\ln (x) x - x + C}{x + 1}$

Paso 6.3.4

Reordena los factores en $\ln (x) x - x + C$ .

$y = \frac{x \ln (x) - x + C}{x + 1}$