Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x e^{- x^{2}}}{y})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

Paso 1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = - (x e^{- x^{2}})$

$y \frac{d y}{d x} = - x e^{- x^{2}}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = - x e^{- x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int - x e^{- x^{2}} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x e^{- x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Paso 2.3.2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Paso 2.3.2.1.4.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2}) + C_{2}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - - \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.3

Multiplica $\frac{u_{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- x^{2}}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{e^{- x^{2}}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = e^{- x^{2}} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$