Cálculo Ejemplos

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (y - 2 x y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y - 2 x y)]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (y - 2 x y)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y - 2 x y]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 2 x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

Paso 2.4

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x y])$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Paso 2.6

Como $- 2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $x$ es $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Paso 2.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2 y$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$0 = 2 y$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (2 y)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $- (y - 2 x y)$ por $N$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Sustituye $- (y - 2 x y)$ por $N$ .

$\frac{0 - (2 y)}{- (y - 2 x y)}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 - 2 y}{- (y - 2 x y)}$

Paso 4.3.2.2

Resta $2 y$ de $0$ .

$\frac{- 2 y}{- (y - 2 x y)}$

Paso 4.3.3

Factoriza $y$ de $y - 2 x y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 y}{- (y^{1} - 2 x y)}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 - 2 x y)}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $y$ de $- 2 x y$ .

$\frac{- 2 y}{- (y \cdot 1 + y (- 2 x))}$

Paso 4.3.3.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$\frac{- 2 y}{- (y (1 - 2 x))}$

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 y}{- y (1 - 2 x)}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{- 1 (1 - 2 x)}$

Paso 4.3.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{2}{1 - 2 x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{2}{1 - 2 x} d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{1 - 2 x} d x}$

Paso 5.2

Sea $u = 1 - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Deja $u = 1 - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Diferencia $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Paso 5.2.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 5.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Paso 5.2.1.4

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 5.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u}$

Paso 5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u}$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Paso 5.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int - \frac{1}{2 u} d u}$

Paso 5.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{2 (- \int \frac{1}{2 u} d u)}$

Paso 5.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Paso 5.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Paso 5.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Paso 5.9

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Paso 5.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 x$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 1 - 2 x |)} + C$

Paso 5.11

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.11.1

Simplifica $- \ln (| 1 - 2 x |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 1 - 2 x |}^{- 1})} + C$

Paso 5.11.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| 1 - 2 x |}^{- 1} + C$

Paso 5.11.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 1 - 2 x |} + C$

Paso 6

Multiplica $1$ por $\frac{1}{1 - 2 x}$ .

$d x - (y - 2 x y) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - y d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = - y$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \int y d y$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 8.3

Reescribe $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Paso 11.3

Como $- \frac{1}{2} y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{1 - 2 x}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Paso 11.5

Suma $0$ y $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Paso 12

Obtén la antiderivada de $\frac{1}{1 - 2 x}$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Paso 12.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Paso 12.3

Sea $u = 1 - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1

Deja $u = 1 - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1.1

Diferencia $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Paso 12.3.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 12.3.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 12.3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12.3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Paso 12.3.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Paso 12.3.1.4

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 12.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 12.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g (x) = \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 12.4.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 12.4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Paso 12.4.4

Multiplica $2$ por $u$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{2 u} d u$

Paso 12.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 12.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$g (x) = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 12.7

Elimina los paréntesis.

$g (x) = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 12.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Paso 12.9

Simplifica.

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Paso 12.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 x$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Paso 13

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Paso 14

Simplifica $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Paso 14.1.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.2.1

Reordena $\ln (| 1 - 2 x |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)) + C$

Paso 14.1.2.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 14.2

Para escribir $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 14.3

Combina $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 14.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 14.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.1

Multiplica $- \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Paso 14.5.1.2

Simplifica $- 2 \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Paso 14.5.2

Multiplica los exponentes en ${({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Paso 14.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Paso 14.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln ({| 1 - 2 x |}^{1})}{2} + C$

Paso 14.5.3

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{- y^{2} - \ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$