Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \cos (4 x) - 2 x$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (\cos (4 x) - 2 x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) d x + \int - 2 x d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{4} d u + \int - 2 x d x$

Paso 2.3.3

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{4} d u + \int - 2 x d x$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u) d u + \int - 2 x d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) + \int - 2 x d x$

Paso 2.3.6

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 \int x d x$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.8.2

Simplifica.

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Paso 2.3.8.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.8.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.8.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.8.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.8.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.8.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.8.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.8.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (4 x) - x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.10

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + K$