Cálculo Ejemplos

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \ln (x)$ , $y (1) = 2$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $x^{2} y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Paso 1.4

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Paso 1.5

Elimina los paréntesis.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Paso 1.6

Mueve $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \ln (x)$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \ln (x) d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$x^{2} y = \int \ln (x) d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

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Paso 5.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 1$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Paso 5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int d x$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$x^{2} y = \ln (x) x - (x + C)$

Paso 5.4

Simplifica.

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$

Paso 6

Divide cada término en $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $\ln (x) x$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.1.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 6.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $- x$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 6.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 7

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $2$ por $y$ en $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$2 = \frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$

Paso 8

Resuelve $C$

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$ .

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Paso 8.2

Simplifica $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$ .

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Paso 8.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (1) - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Paso 8.2.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0 - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Paso 8.2.3

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Paso 8.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.4.1

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Paso 8.2.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 1 + \frac{C}{1} = 2$

Paso 8.2.4.3

Divide $C$ por $1$ .

$- 1 + C = 2$

Paso 8.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 2 + 1$

Paso 8.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$C = 3$

Paso 9

Sustituye $3$ por $C$ en $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 9.1

Sustituye $3$ por $C$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$