Cálculo Ejemplos

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x \cos^{2} (y)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cos^{2} (y)]$

Paso 1.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x \cos^{2} (y)$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = \cos (y)$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Paso 1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot x \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Paso 1.5

La derivada de $\cos (y)$ con respecto a $y$ es $- \sin (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) (- \sin (y))$

Paso 1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cos (y) \sin (y)$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = \tan (y)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (y)]$

Paso 2.2

Como $\tan (y)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\tan (y)$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $0$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $x \cos^{2} (y)$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x \cos^{2} (y)$ por $M$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{0 + 2 (x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Paso 4.3.2.2

Reordena $2$ y $x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{0 + x \cos (y) \sin (y) \cdot 2}{x \cos^{2} (y)}$

Paso 4.3.2.3

Agrega paréntesis.

$\frac{0 + x \cos (y) (\sin (y) \cdot 2)}{x \cos^{2} (y)}$

Paso 4.3.2.4

Agrega paréntesis.

$\frac{0 + x (\cos (y) (\sin (y) \cdot 2))}{x \cos^{2} (y)}$

Paso 4.3.2.5

Reordena $\cos (y)$ y $\sin (y) \cdot 2$ .

$\frac{0 + x (\sin (y) \cdot 2 \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Paso 4.3.2.6

Reordena $\sin (y)$ y $2$ .

$\frac{0 + x (2 \cdot \sin (y) \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Paso 4.3.2.7

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\frac{0 + x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Paso 4.3.2.8

Suma $0$ y $x \sin (2 y)$ .

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (2 y)}{\cos^{2} (y)}$

Paso 4.3.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\frac{2 \sin (y) \cos (y)}{\cos^{2} (y)}$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $\cos (y)$ y $\cos^{2} (y)$ .

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Paso 4.3.5.1

Factoriza $\cos (y)$ de $2 \sin (y) \cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos^{2} (y)}$

Paso 4.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.5.2.1

Factoriza $\cos (y)$ de $\cos^{2} (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Paso 4.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Paso 4.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sin (y)}{\cos (y)}$

Paso 4.3.6

Separa las fracciones.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Paso 4.3.7

Convierte de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ a $\tan (y)$ .

$\frac{2}{1} \tan (y)$

Paso 4.3.8

Sustituye $x \cos^{2} (y)$ por $M$ .

$2 \tan (y)$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 \tan (y) d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int 2 \tan (y) d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \tan (y) d y}$

Paso 5.2

La integral de $\tan (y)$ con respecto a $y$ es $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Simplifica $2 \ln (| \sec (y) |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{2})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{2} + C$

Paso 5.4.3

Elimina el valor absoluto en ${| \sec (y) |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = \sec^{2} (y) + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$ por el factor integrador $\sec^{2} (y)$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x \cos^{2} (y)$ por $\sec^{2} (y)$ .

$x \cos^{2} (y) \sec^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Paso 6.2

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$x \cos^{2} (y) {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Paso 6.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$x \cos^{2} (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $\cos^{2} (y)$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $\cos^{2} (y)$ de $x \cos^{2} (y)$ .

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común.

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión.

$x \cdot 1^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Paso 6.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x \cdot 1 d x + \tan (y) d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$x d x + \tan (y) d y = 0$

Paso 6.7

Multiplica $\tan (y)$ por $\sec^{2} (y)$ .

$x d x + \tan (y) \sec^{2} (y) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = x$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Paso 11.3

Como $\frac{1}{2} x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Paso 11.5

Suma $0$ y $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Paso 12

Obtén la antiderivada de $\tan (y) \sec^{2} (y)$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 12.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Paso 12.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Paso 12.3

Sea $u = \sec (y)$ . Entonces $d u = \sec (y) \tan (y) d y$ , de modo que $\frac{1}{\sec (y) \tan (y)} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 12.3.1

Deja $u = \sec (y)$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 12.3.1.1

Diferencia $\sec (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (y)]$

Paso 12.3.1.2

La derivada de $\sec (y)$ con respecto a $y$ es $\sec (y) \tan (y)$ .

$\sec (y) \tan (y)$

Paso 12.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (y) = \int u d u$

Paso 12.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} u^{2} + C$

Paso 12.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (y)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Paso 13

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Paso 14

Simplifica cada término.

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Paso 14.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Paso 14.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sec^{2} (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec^{2} (y)}{2} + C$