Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{- x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = e^{- x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int e^{- x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.1.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Paso 2.3.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Paso 2.3.3

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$y + C_{1} = - e^{- x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - e^{- x} + K$