Cálculo Ejemplos

$(1 + \ln (x)) d x + (1 + \ln (y)) d y = 0$

Paso 1

Resta $(1 + \ln (x)) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(1 + \ln (y)) d y = - (1 + \ln (x)) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 1 + \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d y + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Paso 2.2.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (y)$ y $d v = 1$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Combina $y$ y $\frac{1}{y}$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Paso 2.2.4.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Paso 2.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Paso 2.2.5

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \ln (y) y - (y + C_{2}) = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Simplifica.

$y + \ln (y) y - y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Paso 2.2.6.2

Simplifica.

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Paso 2.2.6.2.1

Resta $y$ de $y$ .

$\ln (y) y + 0 + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Paso 2.2.6.2.2

Suma $\ln (y) y$ y $0$ .

$\ln (y) y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Paso 2.2.7

Reordena los términos.

$y \ln (y) + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y \ln (y) + C_{3} = - \int 1 + \ln (x) d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$y \ln (y) + C_{3} = - (\int d x + \int \ln (x) d x)$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \ln (x) d x)$

Paso 2.3.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 1$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Paso 2.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int d x)$

Paso 2.3.6

Aplica la regla de la constante.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5}))$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$y \ln (y) + C_{3} = - \ln (x) x + C_{6}$

Paso 2.3.8

Reordena los términos.

$y \ln (y) + C_{3} = - x \ln (x) + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y \ln (y) = - x \ln (x) + K$