Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y} \ln (x)}{x}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = 4 \sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (4 \sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3.3.2

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3.3.3

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Paso 1.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3.3.6.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{\sqrt{y}}{y} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3.4

Combina $4$ y $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y}}{y} (\sqrt{y} \frac{\ln (x)}{x})$

Paso 1.3.5

Combina $\sqrt{y}$ y $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y}}{y} \cdot \frac{\sqrt{y} \ln (x)}{x}$

Paso 1.3.6

Multiplica $\frac{4 \sqrt{y}}{y} \cdot \frac{\sqrt{y} \ln (x)}{x}$ .

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $\frac{4 \sqrt{y}}{y}$ por $\frac{\sqrt{y} \ln (x)}{x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \sqrt{y} (\sqrt{y} \ln (x))}{y x}$

Paso 1.3.6.2

Reordena $\ln (x)$ y $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot \ln (x) \sqrt{y} \sqrt{y}}{y x}$

Paso 1.3.6.3

Simplifica $4 \cdot \ln (x)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) \sqrt{y} \sqrt{y}}{y x}$

Paso 1.3.6.4

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{y x}$

Paso 1.3.6.5

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{y x}$

Paso 1.3.6.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{y x}$

Paso 1.3.6.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) {\sqrt{y}}^{2}}{y x}$

Paso 1.3.7

Reescribe ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Paso 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y x}$

Paso 1.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y x}$

Paso 1.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{\frac{2}{2}}}{y x}$

Paso 1.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{\frac{2}{2}}}{y x}$

Paso 1.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y^{1}}{y x}$

Paso 1.3.7.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4}) y}{y x}$

Paso 1.3.8

Expande $\ln (x^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \ln (x) y}{y x}$

Paso 1.3.9

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \ln (x) y}{y x}$

Paso 1.3.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \ln (x)}{x}$

Paso 1.3.10

Simplifica $4 \ln (x)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{4})}{x}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Paso 2.2.1.2

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Paso 2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Paso 2.2.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Paso 2.2.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{\ln (x^{4})}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Reescribe $\frac{\ln (x^{4})}{x}$ como $\frac{4 \ln (x)}{x}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{4 \ln (x)}{x} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2.3.3

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.3.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.3.3.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 2.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \int u d u$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Reescribe $4 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ como $4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \ln^{2} (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln^{2} (x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln^{2} (x) + K$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln^{2} (x) + K$ por $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2.2

Divide $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln^{2} (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.2

Divide $\ln^{2} (x)$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln^{2} (x) + \frac{K}{2}$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.2

Simplifica.

$y = {(\ln^{2} (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = {(\ln^{2} (x) + K)}^{2}$