Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + p (x) y = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$\frac{d y}{d x} + y \cdot y = 0$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 2.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d y}{d x} + y^{2} = 0$

Paso 2.1.2

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = - y^{2}$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (- y^{2})$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2}} y^{2}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y^{2}}$ al numerador.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} y^{2}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} y^{2}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - 1$

Paso 2.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Paso 3.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - 1 d x$

Paso 3.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - 1 d x$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - 1 d x$

Paso 3.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - 1 d x$

Paso 3.2.3

Reescribe $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - 1 d x$

Paso 3.3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{y} = - x + K$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1$

Paso 4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 4.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = - x + K$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = - x + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - x y + K y$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y} y = - x y + K y$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y} y = - x y + K y$

Paso 4.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - x y + K y$

Paso 4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $- x y + K y = - 1$ .

$- x y + K y = - 1$

Paso 4.3.2

Factoriza $y$ de $- x y + K y$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$y (- x) + K y = - 1$

Paso 4.3.2.2

Factoriza $y$ de $K y$ .

$y (- x) + y K = - 1$

Paso 4.3.2.3

Factoriza $y$ de $y (- x) + y K$ .

$y (- x + K) = - 1$

Paso 4.3.3

Divide cada término en $y (- x + K) = - 1$ por $- x + K$ y simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Divide cada término en $y (- x + K) = - 1$ por $- x + K$ .

$\frac{y (- x + K)}{- x + K} = \frac{- 1}{- x + K}$

Paso 4.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- x + K$ .

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Paso 4.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- x + K)}{- x + K} = \frac{- 1}{- x + K}$

Paso 4.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{- x + K}$

Paso 4.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{- x + K}$

Paso 4.3.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y = - \frac{1}{- (x) + K}$

Paso 4.3.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $K$ .

$y = - \frac{1}{- (x) - 1 (- K)}$

Paso 4.3.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (x - K)}$

Paso 4.3.3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.3.3.5.1

Reescribe $- (x - K)$ como $- 1 (x - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (x - K)}$

Paso 4.3.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - - \frac{1}{x - K}$

Paso 4.3.3.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{x - K}$

Paso 4.3.3.3.5.4

Multiplica $\frac{1}{x - K}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x - K}$

Paso 5

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{1}{x + K}$