Cálculo Ejemplos

$y d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 x + 1 - x y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x + 1 - x y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1 - x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 2.5.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y \cdot 1$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - y$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 2$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- y + 2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - y + 2$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 = - y + 2$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- y + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y + 2 - 1}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $y$ por $M$ .

$\frac{- y + 2 - 1}{y}$

Paso 4.3.2

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{- y + 1}{y}$

Paso 4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{- (y) + 1}{y}$

Paso 4.3.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (y) - 1 (- 1)}{y}$

Paso 4.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (y - 1)}{y}$

Paso 4.3.6

Reescribe $- (y - 1)$ como $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{- 1 (y - 1)}{y}$

Paso 4.3.7

Sustituye $y$ por $M$ .

$- \frac{y - 1}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{y - 1}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{y - 1}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{y - 1}{y} d y}$

Paso 5.2

Divide $y - 1$ por $y$ .

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Paso 5.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$0$

$y$

$1$

Paso 5.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$1$

Paso 5.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			+	$y$	+	$0$

Paso 5.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y + 0$ .

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$0$

Paso 5.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$0$
					-	$1$

Paso 5.2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$μ (x, y) = e^{- \int 1 - \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.3

Divide la única integral en varias integrales.

$μ (x, y) = e^{- (\int d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$μ (x, y) = e^{- (y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.6

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (y + C - (\ln (| y |) + C))}$

Paso 5.7

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- y + \ln (| y |)} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $y d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$ por el factor integrador $e^{- y + \ln (y)}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y$ por $e^{- y + \ln (y)}$ .

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $2 x + 1 - x y$ por $e^{- y + \ln (y)}$ .

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x + 1 - x y) e^{- y + \ln (y)} d y = 0$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x e^{- y + \ln (y)} + 1 e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}) d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $e^{- y + \ln (y)}$ por $1$ .

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- y + \ln (y)} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = y e^{- y + \ln (y)}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x]$ .

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Paso 11.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y e^{- y + \ln (y)} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = e^{- y + \ln (y)}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y + \ln (y)}] + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = - y + \ln (y)$ .

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Paso 11.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- y + \ln (y)$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y + \ln (y)$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $- y + \ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.3.7

La derivada de $\ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{y}$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.3.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.3.10

Multiplica $e^{- y + \ln (y)}$ por $1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y}))) + x e^{- y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y + \ln (y)} x y (- 1 + \frac{1}{y}) + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 11.5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y + \ln (y)} x y \cdot - 1 + e^{- y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.5.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + e^{- y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.5.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 11.5.3.3.1

Factoriza $y$ de $e^{- y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + y (e^{- y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.5.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + y (e^{- y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.5.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + e^{- y + \ln (y)} x + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.5.3.4

Reescribe $- 1 (e^{- y + \ln (y)} x y)$ como $- (e^{- y + \ln (y)} x y)$ .

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + e^{- y + \ln (y)} x + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.5.4

Suma $e^{- y + \ln (y)} x$ y $e^{- y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + 2 e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 11.5.5

Reordena los factores en $\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + 2 e^{- y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Paso 12.1.2

Combina los términos opuestos en $- x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)}$ .

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Paso 12.1.2.1

Resta $2 x e^{- y + \ln (y)}$ de $2 x e^{- y + \ln (y)}$ .

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 0 - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Paso 12.1.2.2

Suma $- x y e^{- y + \ln (y)}$ y $0$ .

$- x y e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Paso 12.1.2.3

Suma $- x y e^{- y + \ln (y)}$ y $x y e^{- y + \ln (y)}$ .

$0 - e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Paso 12.1.2.4

Resta $e^{- y + \ln (y)}$ de $0$ .

$- e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Paso 12.1.3

Como $\frac{d g}{d y}$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

Paso 12.1.4

Divide cada término en $- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 12.1.4.1

Divide cada término en $- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Paso 12.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.1.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Paso 12.1.4.2.2

Divide $\frac{d g}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Paso 12.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.1.4.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{1}$

Paso 12.1.4.3.2

Divide $e^{- y + \ln (y)}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $e^{- y + \ln (y)}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Paso 13.3

Reescribe $\int e^{- y + \ln (y)} d y$ como $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ .

$g (y) = \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

Paso 13.4

Reescribe $e^{\ln (y)}$ como $y$ .

$g (y) = \int e^{- y} y d y$

Paso 13.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y$

Paso 13.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y$

Paso 13.7

Simplifica.

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Paso 13.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y$

Paso 13.7.2

Multiplica $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y$

Paso 13.8

Sea $u = - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 13.8.1

Deja $u = - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 13.8.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 13.8.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 13.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 13.8.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 13.8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u$

Paso 13.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u$

Paso 13.10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$

Paso 13.11

Reescribe $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$ como $- y e^{- y} - e^{u} + C$ .

$g (y) = - y e^{- y} - e^{u} + C$

Paso 13.12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y$ .

$g (y) = - y e^{- y} - e^{- y} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x - y e^{- y} - e^{- y} + C$

Paso 15

Reordena los factores en $f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x - y e^{- y} - e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- y + \ln (y)} - y e^{- y} - e^{- y} + C$