Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}}$ , $y (3) = 5$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = e^{- x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int e^{- x^{2}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{- x^{2}} d x$

Paso 2.3

$\int e^{- x^{2}} d x$ es una integral especial. La integral es la función error.

$y + C_{1} = erf (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = erf (x) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $3$ por $x$ y de $5$ por $y$ en $y = erf (x) + K$ .

$5 = erf (x) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $e r f (x) + K = 5$ .

$e r f (x) + K = 5$

Paso 4.2

Multiplica $e r f$ por $x$ .

$e r f x + K = 5$

Paso 4.3

Resta $e r f x$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 5 - e r f x$

Paso 5

Sustituye $5 - e r f x$ por $K$ en $y = erf (x) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $5 - e r f x$ por $K$ .

$y = erf (x) + 5 - e r f x$