Cálculo Ejemplos

$2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$2 y d y = - 4 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 2 y d y = \int - 4 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int y d y = \int - 4 x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - 4 x d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Paso 2.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Paso 2.2.3.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$y^{2} + C_{1} = - 4 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $- 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{1} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$y^{2} + C_{1} = - 2 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Paso 3.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Paso 3.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Paso 3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$