Cálculo Ejemplos

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$ por $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x^{2} - 1$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 1.3

Factoriza $y$ de $\frac{2 y}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 1.4

Reordena $y$ y $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x^{2} - 1} y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{2}{x^{2} - 1}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{2}{x^{2} - 1} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

Paso 2.2.2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.2.2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.2.2.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 2.2.2.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 2.2.2.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 2.2.2.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Paso 2.2.2.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 2.2.2.1.5

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 2.2.2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 2.2.2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 2.2.2.1.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 2.2.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 2.2.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 2.2.2.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.7.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 2.2.2.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 2.2.2.1.7.1.2

Divide $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 2.2.2.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 2.2.2.1.7.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 2.2.2.1.7.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 2.2.2.1.7.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 2.2.2.1.7.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 2.2.2.1.7.5.2

Divide $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Paso 2.2.2.1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.7.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Paso 2.2.2.1.8

Mueve $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Paso 2.2.2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2.2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 1 A + B$

Paso 2.2.2.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Paso 2.2.2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.2.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 2.2.2.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Paso 2.2.2.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Paso 2.2.2.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 2.2.2.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 1 A + B$ por $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Paso 2.2.2.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.3.2.2.1

Simplifica $- 1 (- B) + B$ .

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Paso 2.2.2.3.2.2.1.1

Multiplica $- 1 (- B)$ .

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Paso 2.2.2.3.2.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Paso 2.2.2.3.2.2.1.1.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Paso 2.2.2.3.2.2.1.2

Suma $B$ y $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Paso 2.2.2.3.3

Resuelve $B$ en $1 = 2 B$ .

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Paso 2.2.2.3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Paso 2.2.2.3.3.2

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.2.3.3.2.1

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 2.2.2.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 2.2.2.3.3.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 2.2.2.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 2.2.2.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.2.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.2.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 2.2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.2.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 2.2.2.5.2

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 2.2.2.5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 2.2.2.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Paso 2.2.2.5.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$e^{2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

Paso 2.2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Paso 2.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Paso 2.2.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Paso 2.2.6

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.6.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.2.6.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.2.6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.6.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Paso 2.2.7

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Paso 2.2.8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

Paso 2.2.9

Sea $u_{2} = x - 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.2.9.1

Deja $u_{2} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.2.9.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 2.2.9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.9.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.9.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

Paso 2.2.10

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

Paso 2.2.11

Simplifica.

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Paso 2.2.12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.2.12.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Paso 2.2.12.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Paso 2.2.13

Simplifica.

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Paso 2.2.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.13.1.1

Combina $\ln (| x + 1 |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Paso 2.2.13.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| x - 1 |)$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

Paso 2.2.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Paso 2.2.13.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.13.3.1

Cancela el factor común.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Paso 2.2.13.3.2

Reescribe la expresión.

$e^{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \ln (x + 1) + \ln (x - 1)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1}) + \ln (x - 1)}$

Paso 2.5

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1} (x - 1))}$

Paso 2.6

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(x + 1)}^{- 1} (x - 1)$

Paso 2.7

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + 1} (x - 1)$

Paso 2.8

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $x - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{x - 1}{x + 1}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.2.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ y $y$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza $x - 1$ de $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.2.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.2.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.2.5

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.2.6

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.2.7

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.2.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.3

Para escribir $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(x + 1)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.4.2

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.4.3

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.6.2

Reescribe $- 1 \frac{d y}{d x}$ como $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.6.3

Expande $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.6.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.6.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.6.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.6.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.6.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.6.4.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.6.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.6.4.2

Resta $\frac{d y}{d x} x$ de $x \frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.6.4.2.1

Mueve $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.6.4.2.2

Resta $x \frac{d y}{d x}$ de $x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.6.4.3

Suma $x^{2} \frac{d y}{d x}$ y $0$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

Paso 3.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

Paso 3.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1}$

Paso 3.8

Simplifica el denominador.

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Paso 3.8.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 3.8.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 3.9

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.9.1

Factoriza $x - 1$ de $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Paso 3.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Paso 3.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

Paso 3.10

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 3.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

Paso 3.10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = 1$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] = 1$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] d x = \int d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = \int d x$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = x + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica $\frac{x - 1}{x + 1} y$ .

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Paso 8.1.1

Combina $\frac{x - 1}{x + 1}$ y $y$ .

$\frac{(x - 1) y}{x + 1} = x + C$

Paso 8.1.2

Reordena los factores en $\frac{(x - 1) y}{x + 1}$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} = x + C$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por $x + 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Simplifica $\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1)$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 8.3.1.1.1.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 8.3.1.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

Paso 8.3.1.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y (x - 1) = (x + C) (x + 1)$

Paso 8.3.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y x + y \cdot - 1 = (x + C) (x + 1)$

Paso 8.3.1.1.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$y x - 1 \cdot y = (x + C) (x + 1)$

Paso 8.3.1.1.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$y x - y = (x + C) (x + 1)$

Paso 8.3.1.1.3

Reordena $y$ y $x$ .

$x y - y = (x + C) (x + 1)$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica $(x + C) (x + 1)$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Expande $(x + C) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x y - y = x (x + 1) + C (x + 1)$

Paso 8.3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C (x + 1)$

Paso 8.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Paso 8.3.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 8.3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.2.1.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x y - y = x^{2} + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Paso 8.3.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C \cdot 1$

Paso 8.3.2.1.2.1.3

Multiplica $C$ por $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C$

Paso 8.3.2.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.2.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$x y - y = x^{2} + C x + C + x$

Paso 8.3.2.1.2.2.2

Reordena $x^{2}$ y $C x$ .

$x y - y = C x + x^{2} + C + x$

Paso 8.4

Resuelve $y$

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Paso 8.4.1

Factoriza $y$ de $x y - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$y x - y = C x + x^{2} + C + x$

Paso 8.4.1.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = C x + x^{2} + C + x$

Paso 8.4.1.3

Factoriza $y$ de $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$

Paso 8.4.2

Divide cada término en $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ por $x - 1$ y simplifica.

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Paso 8.4.2.1

Divide cada término en $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Paso 8.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.2.2.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 8.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Paso 8.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Paso 8.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.3.1

Simplifica los términos.

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Paso 8.4.2.3.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{C x + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Paso 8.4.2.3.1.2

Factoriza $x$ de $C x + x^{2}$ .

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Paso 8.4.2.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $C x$ .

$y = \frac{x C + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Paso 8.4.2.3.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x C + x \cdot x}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Paso 8.4.2.3.1.2.3

Factoriza $x$ de $x C + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (C + x)}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Paso 8.4.2.3.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x (C + x) + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Paso 8.4.2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x C + x \cdot x + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Paso 8.4.2.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{x C + x^{2} + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Paso 8.4.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

Paso 8.4.2.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.2.3.4.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.4.2.3.4.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

Paso 8.4.2.3.4.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{x (C + x) + 1 (C + x)}{x - 1}$

Paso 8.4.2.3.4.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $C + x$ .

$y = \frac{(C + x) (x + 1)}{x - 1}$