Cálculo Ejemplos

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Paso 1.3.2

Divide $2 y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{1}{e^{x}}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{2 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{2 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

Paso 3.3

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{1}{e^{x}}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{2 x}}{e^{x}}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ y $e^{x}$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}$

Paso 3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

Paso 3.4.2.2

Cancela el factor común.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

Paso 3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x}}{1}$

Paso 3.4.2.4

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$

Paso 3.5

Reordena los factores en $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{2 x} y = \int e^{x} d x$

Paso 7

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{2 x} y = e^{x} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{2 x} y = e^{x} + C$ por $e^{2 x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{2 x} y = e^{x} + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 8.3.1.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 8.3.1.2.4

Divide $e^{- x}$ por $1$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$