Cálculo Ejemplos

$(x + 3 y) d x - x d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x + 3 y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 y]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Paso 1.2.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3$

Paso 1.4

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 = - 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$3 = - 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 + 1}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $- x$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $- x$ por $N$ .

$\frac{3 + 1}{- x}$

Paso 4.3.2

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{4}{- x}$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Paso 5.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 5.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 4 \ln (| x |)$ al mover $- 4$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{- 4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(x + 3 y) d x - x d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x + 3 y$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(x + 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x - x d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $x + 3 y$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - x d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $- x$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - x \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Paso 6.4.2

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Paso 6.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Paso 6.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x^{3}} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = - \frac{1}{x^{3}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y + C$

Paso 8.2

Combina $y$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}} + g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{y}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 11.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$- y (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- y (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 11.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- y (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- y (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.3.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$- y (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- y (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$- y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.3.8

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$3 y x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y x^{- 4} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y \frac{1}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.5.2

Combina los términos.

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Paso 11.5.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y \frac{3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.5.2.2

Combina $y$ y $\frac{3}{x^{4}}$ .

$\frac{y \cdot 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.5.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{3 y}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 11.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Resta $\frac{x + 3 y}{x^{4}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y}{x^{4}} - \frac{x + 3 y}{x^{4}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - (x + 3 y)}{x^{4}} = 0$

Paso 12.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - x - (3 y)}{x^{4}} = 0$

Paso 12.1.1.3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - x - 3 y}{x^{4}} = 0$

Paso 12.1.1.4

Combina los términos opuestos en $3 y - x - 3 y$ .

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Paso 12.1.1.4.1

Resta $3 y$ de $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{4}} = 0$

Paso 12.1.1.4.2

Suma $- x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{4}} = 0$

Paso 12.1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.5.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 12.1.1.5.1.1

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{4}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1.1.5.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

Paso 12.1.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

Paso 12.1.2

Suma $\frac{1}{x^{3}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $\frac{1}{x^{3}}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 13.3

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 13.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 13.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 13.4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

Paso 13.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Paso 13.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.6.1

Reescribe $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Paso 13.6.2

Simplifica.

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Paso 13.6.2.1

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

Paso 13.6.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

Paso 13.6.2.3

Multiplica $2$ por $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$