Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x + 6$

Paso 1

Supón que todas las soluciones son en formato $y = e^{r x}$ .

Paso 2

Obtén la ecuación característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x + 6$ .

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Paso 2.3

Sustituye en la ecuación diferencial.

$r^{2} e^{r x} + 4 (r e^{r x}) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Paso 2.4

Elimina los paréntesis.

$r^{2} e^{r x} + 4 r e^{r x} + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Paso 2.5

Factoriza $e^{r x}$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 4 r e^{r x} + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Paso 2.5.2

Factoriza $e^{r x}$ de $4 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Paso 2.5.3

Factoriza $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Paso 2.5.4

Factoriza $e^{r x}$ de $4 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot 4 = 2 x + 6$

Paso 2.5.5

Factoriza $e^{r x}$ de $e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot 4$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r + 4) = 2 x + 6$

Paso 2.6

Como los exponenciales no pueden ser cero, divide ambos lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 r + 4 = 2 x + 6$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.1.1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} + 4 r + 4 - 2 x = 6$

Paso 3.1.1.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} + 4 r + 4 - 2 x - 6 = 0$

Paso 3.1.2

Resta $6$ de $4$ .

$r^{2} + 4 r - 2 x - 2 = 0$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = - 2 x - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.6

Suma $16$ y $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.7

Factoriza $8$ de $8 x + 24$ .

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Paso 3.4.1.7.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.7.2

Factoriza $8$ de $24$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.7.3

Factoriza $8$ de $8 x + 8 \cdot 3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.8

Reescribe $8 (x + 3)$ como $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

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Paso 3.4.1.8.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.8.3

Agrega paréntesis.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Paso 3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.6

Suma $16$ y $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.7

Factoriza $8$ de $8 x + 24$ .

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Paso 3.5.1.7.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.7.2

Factoriza $8$ de $24$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.7.3

Factoriza $8$ de $8 x + 8 \cdot 3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.8

Reescribe $8 (x + 3)$ como $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

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Paso 3.5.1.8.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.8.3

Agrega paréntesis.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Paso 3.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.6

Suma $16$ y $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.7

Factoriza $8$ de $8 x + 24$ .

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Paso 3.6.1.7.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.7.2

Factoriza $8$ de $24$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.7.3

Factoriza $8$ de $8 x + 8 \cdot 3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.8

Reescribe $8 (x + 3)$ como $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

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Paso 3.6.1.8.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.8.3

Agrega paréntesis.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Paso 3.6.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Paso 3.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

Paso 3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

Paso 4

Con los dos valores obtenidos de $r$ , se pueden construir dos soluciones.

$y_{1} = e^{(- 2 + \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

$y_{2} = e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Paso 5

Según el principio de superposición, la solución general es una combinación lineal de dos soluciones para una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

$y = c_{1} e^{(- 2 + \sqrt{2 (x + 3)}) x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 (x + 3)} x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 (x + 3)} x} + c_{2} e^{- 2 x - \sqrt{2 (x + 3)} x}$