Cálculo Ejemplos

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ given the initial condition that $x (0) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ por $x e^{- t}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ por $x e^{- t}$ .

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $e^{- t}$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Paso 1.1.2.2.2

Divide $\frac{d x}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Combinar.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $x$ de $e^{- t} x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

Paso 1.4.3

Multiplica $t$ por $1$ .

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.1

Niega el exponente de $e^{- t}$ y quítalo del denominador.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{- t})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $- t \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.1.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

Paso 2.3.1.2.2.2

Multiplica $t$ por $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Paso 2.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Paso 2.3.3

La integral de $e^{t}$ con respecto a $t$ es $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Reordena los factores en $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ .

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $2 t e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

Paso 3.4.2

Factoriza $2$ de $- 2 e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Paso 3.4.3

Factoriza $2$ de $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Paso 3.4.4

Factoriza $2$ de $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

Paso 3.4.5

Factoriza $2$ de $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Paso 4

Como $x$ es positiva en la condición inicial $(0, 1)$ , solo considera $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ para obtener $K$ . Sustituye $0$ por $t$ y $1$ por $x$ .

$1 = \sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$

Paso 5

Resuelve $K$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$ .

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$

Paso 5.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}}^{2} = 1^{2}$

Paso 5.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$ como ${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Paso 5.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

${(2 (0 \cdot 1 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $1$ .

${(2 (0 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

${(2 (0 - 1 \cdot 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

${(2 (0 - 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Paso 5.3.2.1.3

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 5.3.2.1.3.1

Resta $1$ de $0$ .

${(2 (- 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Paso 5.3.2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 \cdot - 1 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Paso 5.3.2.1.3.3

Multiplica.

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Paso 5.3.2.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

${(- 2 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Paso 5.3.2.1.3.3.2

Simplifica.

$- 2 + 2 K = 1^{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 2 + 2 K = 1$

Paso 5.4

Resuelve $K$

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Paso 5.4.1

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.4.1.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$2 K = 1 + 2$

Paso 5.4.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$2 K = 3$

Paso 5.4.2

Divide cada término en $2 K = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.1

Divide cada término en $2 K = 3$ por $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Divide $K$ por $1$ .

$K = \frac{3}{2}$

Paso 6

Sustituye $\frac{3}{2}$ por $K$ en $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Sustituye $\frac{3}{2}$ por $K$ .

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + \frac{3}{2})}$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$x = \sqrt{2 (e^{t} t + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Paso 6.3

Para escribir $e^{t} t$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (e^{t} t \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Paso 6.4

Combina $e^{t} t$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Paso 6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2 + 3}{2} - e^{t})}$

Paso 6.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{t} t$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t})}$

Paso 6.7

Para escribir $- e^{t}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t} \cdot \frac{2}{2})}$

Paso 6.8

Combina $- e^{t}$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} + \frac{- e^{t} \cdot 2}{2})}$

Paso 6.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - e^{t} \cdot 2}{2}}$

Paso 6.10

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}}$

Paso 6.11

Combina $2$ y $\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Paso 6.12

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.12.1

Reduce la expresión $\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.12.1.1

Cancela el factor común.

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Paso 6.12.1.2

Reescribe la expresión.

$x = \sqrt{\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{1}}$

Paso 6.12.2

Divide $2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}$ por $1$ .

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$

Paso 6.13

Reordena los factores en $x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$ .

$x = \sqrt{2 t e^{t} + 3 - 2 e^{t}}$