Cálculo Ejemplos

$(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 3 x y + 3 y - 4$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + 3 y - 4]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x y + 3 y - 4$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $3 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x y$ con respecto a $y$ es $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Paso 1.4.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.5.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $3 x + 3$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = {(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]$

Paso 2.2

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1)]$

Paso 2.3

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 1) + 1 (x + 1)]$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)]$

Paso 2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

Paso 2.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1]$

Paso 2.4.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 \cdot 1]$

Paso 2.4.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1]$

Paso 2.4.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + 0$

Paso 2.11

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3 x + 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x + 2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x + 3 = 2 x + 2$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$3 x + 3 = 2 x + 2$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $3 x + 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $2 x + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye ${(x + 1)}^{2}$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye ${(x + 1)}^{2}$ por $N$ .

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 3 - (2 x) - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.2.4

Resta $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x + 3 - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.2.5

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x + 1$ y ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 4.3.3.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

Paso 4.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

Paso 4.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x + 1}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ .

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Paso 5.1

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 5.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

Paso 5.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = | u | + C$

Paso 5.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$ por el factor integrador $x + 1$ .

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Paso 6.1

Multiplica $3 x y + 3 y - 4$ por $x + 1$ .

$(3 x y + 3 y - 4) (x + 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Paso 6.2

Expande $(3 x y + 3 y - 4) (x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$(3 x y x + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Paso 6.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.1

Mueve $x$ .

$(3 (x \cdot x) y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Paso 6.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Paso 6.3.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Paso 6.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Paso 6.3.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Paso 6.4

Suma $3 x y$ y $3 y x$ .

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Paso 6.4.1

Mueve $y$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Paso 6.4.2

Suma $3 x y$ y $3 x y$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} (x + 1) d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1

Multiplica ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ .

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Paso 6.6.1.1

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1} d y = 0$

Paso 6.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2 + 1} d y = 0$

Paso 6.6.2

Suma $2$ y $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{3} d y = 0$

Paso 6.7

Usa el teorema del binomio.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

Paso 6.8

Simplifica cada término.

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Paso 6.8.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

Paso 6.8.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) d y = 0$

Paso 6.8.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) d y = 0$

Paso 6.8.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y]$ .

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Paso 11.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$y (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.3.9

Multiplica $2$ por $3$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.3.10

Multiplica $3$ por $1$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.3.11

Suma $3 x^{2} + 6 x + 3$ y $0$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (3 x^{2}) + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.5.2

Combina los términos.

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Paso 11.5.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$3 \cdot y x^{2} + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.5.2.2

Mueve $6$ a la izquierda de $y$ .

$3 y x^{2} + 6 \cdot y x + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.5.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$3 y x^{2} + 6 y x + 3 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 11.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $3 x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y$

Paso 12.1.2

Resta $6 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y$

Paso 12.1.3

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$

Paso 12.1.4

Combina los términos opuestos en $3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$ .

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Paso 12.1.4.1

Resta $3 x^{2} y$ de $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 + 0 - 6 x y - 3 y$

Paso 12.1.4.2

Suma $6 x y + 3 y - 4 x - 4$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 6 x y - 3 y$

Paso 12.1.4.3

Resta $6 x y$ de $6 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 + 0 - 3 y$

Paso 12.1.4.4

Suma $3 y - 4 x - 4$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 - 3 y$

Paso 12.1.4.5

Resta $3 y$ de $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4 + 0$

Paso 12.1.4.6

Suma $- 4 x - 4$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- 4 x - 4$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 4 x - 4 d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 4 x - 4 d x$

Paso 13.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int - 4 x d x + \int - 4 d x$

Paso 13.4

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$g (x) = - 4 \int x d x + \int - 4 d x$

Paso 13.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 d x$

Paso 13.6

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 x + C$

Paso 13.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$g (x) = - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 x + C$

Paso 13.8

Simplifica.

$g (x) = - 2 x^{2} - 4 x + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y - 2 x^{2} - 4 x + C$

Paso 15

Simplifica cada término.

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + 1 y - 2 x^{2} - 4 x + C$

Paso 15.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + y - 2 x^{2} - 4 x + C$