Cálculo Ejemplos

$(3 x^{2} + 6 x y^{2}) d x + (6 x^{2} y + 4 y^{3}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 6 x y^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 6 x y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$

Paso 1.2.2

Como $3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $6 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $6 x y^{2}$ con respecto a $y$ es $6 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x (2 y)$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 12 x y$

Paso 1.4

Suma $0$ y $12 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} y + 4 y^{3}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} y + 4 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $6 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $6 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Paso 2.4

Como $4 y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $12 y x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x$

Paso 2.5.2

Reordena los factores de $12 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $12 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $12 x y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$12 x y = 12 x y$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$12 x y = 12 x y$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + 6 x y^{2} d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int 6 x y^{2} d x$

Paso 5.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int 6 x y^{2} d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 6 x y^{2} d x$

Paso 5.4

Dado que $6 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6 y^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 y^{2} \int x d x$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 5.7

Simplifica.

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Paso 5.7.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 5.7.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.7.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 5.7.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = 1 x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 5.7.3

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 5.7.4

Combina $6$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + y^{2} \frac{6}{2} x^{2} + C$

Paso 5.7.5

Combina $y^{2}$ y $\frac{6}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{y^{2} \cdot 6}{2} x^{2} + C$

Paso 5.7.6

Mueve $6$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{6 \cdot y^{2}}{2} x^{2} + C$

Paso 5.7.7

Multiplica $6$ por $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{6 y^{2}}{2} x^{2} + C$

Paso 5.7.8

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 5.7.8.1

Factoriza $2$ de $6 y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2} x^{2} + C$

Paso 5.7.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.7.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2 (1)} x^{2} + C$

Paso 5.7.8.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Paso 5.7.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2}}{1} x^{2} + C$

Paso 5.7.8.2.4

Divide $3 y^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Paso 8.2.2

Como $x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{3}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}]$ .

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Paso 8.3.1

Como $3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y^{2} x^{2}$ con respecto a $y$ es $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 3 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Paso 8.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$0 + 6 x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 6 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Suma $0$ y $6 x^{2} y$ .

$6 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Paso 8.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 6 x^{2} y = 6 x^{2} y + 4 y^{3}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $6 x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{3} - 6 x^{2} y$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $6 x^{2} y + 4 y^{3} - 6 x^{2} y$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $6 x^{2} y$ de $6 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3} + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $4 y^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $4 y^{3}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{3} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{3} d y$

Paso 10.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$g (y) = 4 \int y^{3} d y$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ como $4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$g (y) = 1 y^{4} + C$

Paso 10.5.2.3

Multiplica $y^{4}$ por $1$ .

$g (y) = y^{4} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + y^{4} + C$