Cálculo Ejemplos

$\frac{d s}{d t} = 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d s = 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d s = \int 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = \int 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $36$ es constante con respecto a $t$ , mueve $36$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 36 \int t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Paso 2.3.2

Sea $u = 9 t^{2} - 7$ . Entonces $d u = 18 t d t$ , de modo que $\frac{1}{18} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 9 t^{2} - 7$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $9 t^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $9 t^{2} - 7$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [9 t^{2}]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $9 t^{2}$ con respecto a $t$ es $9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $9$ .

$18 t + \frac{d}{d t} [- 7]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $t$ es $0$ .

$18 t + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $18 t$ y $0$ .

$18 t$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$s + C_{1} = 36 \int u^{3} \frac{1}{18} d u$

Paso 2.3.3

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{18}$ .

$s + C_{1} = 36 \int \frac{u^{3}}{18} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{18}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{18}$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = 36 (\frac{1}{18} \int u^{3} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{18}$ y $36$ .

$s + C_{1} = \frac{36}{18} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $36$ y $18$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $18$ de $36$ .

$s + C_{1} = \frac{18 \cdot 2}{18} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $18$ de $18$ .

$s + C_{1} = \frac{18 \cdot 2}{18 (1)} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \frac{18 \cdot 2}{18 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Paso 2.3.5.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 t^{2} - 7$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(9 t^{2} - 7)}^{4} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(9 t^{2} - 7)}^{4} + K$