Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $- \frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x + 1}) = {(x + 1)}^{3}$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $- \frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{3}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{2}{x + 1}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

Paso 2.2

Integra $- \frac{2}{x + 1}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Paso 2.2.4

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.4.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.4.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.2.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(x + 1)}^{- 2}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Paso 3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{2}{x + 1}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Paso 3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ .

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $\frac{2 y}{x + 1}$ por $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $x + 1$ por ${(x + 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.4.2.1

Multiplica $x + 1$ por ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Eleva $x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Paso 3.2.4.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = x + 1$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = x + 1$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int x + 1 d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x + 1 d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x d x + \int d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Paso 7.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

Paso 7.4

Simplifica.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + x + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica $(\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x^{2}}{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y ${(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.3

Para escribir $x {(x + 1)}^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.4

Combina $x {(x + 1)}^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + \frac{x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.6

Factoriza $x {(x + 1)}^{2}$ de $x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

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Paso 8.4.2.1.6.1

Factoriza $x {(x + 1)}^{2}$ de $x^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.6.2

Factoriza $x {(x + 1)}^{2}$ de $x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.6.3

Factoriza $x {(x + 1)}^{2}$ de $x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.7

Para escribir $C {(x + 1)}^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 8.4.2.1.8

Simplifica los términos.

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Paso 8.4.2.1.8.1

Combina $C {(x + 1)}^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + \frac{C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Paso 8.4.2.1.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Paso 8.4.2.1.9

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.2.1.9.1

Factoriza ${(x + 1)}^{2}$ de $x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

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Paso 8.4.2.1.9.1.1

Factoriza ${(x + 1)}^{2}$ de $x {(x + 1)}^{2} (x + 2)$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Paso 8.4.2.1.9.1.2

Factoriza ${(x + 1)}^{2}$ de $C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)}{2}$

Paso 8.4.2.1.9.1.3

Factoriza ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2) + C \cdot 2)}{2}$

Paso 8.4.2.1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

Paso 8.4.2.1.9.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

Paso 8.4.2.1.9.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 \cdot x + C \cdot 2)}{2}$

Paso 8.4.2.1.9.5

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 x + 2 C)}{2}$