Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x (1 + x^{2} - y)$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- y)$

Paso 1.2

Resta $2 x (- y)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - 2 x (- y) = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2}$

Paso 1.3

Reordena los términos.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 x y = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 x y = 1 \cdot 2 x + 2 x^{2} x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 2 \cdot - 1 x$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 2 \cdot - 1 x d x}$

Paso 2.2

Integra $- 2 \cdot - 1 x$ .

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Paso 2.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$e^{\int 2 x d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int x d x}$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 2.2.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.4.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Paso 2.2.4.2

Simplifica.

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Paso 2.2.4.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Paso 2.2.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Paso 2.2.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{1 x^{2} + C}$

Paso 2.2.4.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (- 2 \cdot - 1 x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Paso 3.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} (x^{2} x)$

Paso 3.3.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} (x^{2} x^{1})$

Paso 3.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{2 + 1}$

Paso 3.3.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{3}$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x e^{x^{2}} d x + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Paso 7.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{x^{2}} y = 2 \int x e^{x^{2}} d x + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Paso 7.3

Sea $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.3.1

Deja $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 7.3.1.1

Diferencia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 7.3.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 7.3.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 7.3.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 7.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Paso 7.3.1.4

Simplifica.

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Paso 7.3.1.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Paso 7.3.1.4.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Paso 7.3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{2} d u_{2} + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Paso 7.4

Aplica la regla de la constante.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Paso 7.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + 2 \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Paso 7.6

Sea $u_{3} = x^{2}$ . Entonces $d u_{3} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{3} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 7.6.1

Deja $u_{3} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Paso 7.6.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 7.6.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 7.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + 2 \int u_{3} e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Paso 7.7

Simplifica.

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Paso 7.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int u_{3} e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Paso 7.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $u_{3}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int \frac{u_{3}}{2} e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 7.7.3

Combina $\frac{u_{3}}{2}$ y $e^{u_{3}}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int \frac{u_{3} e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Paso 7.8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3})$

Paso 7.9

Simplifica.

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Paso 7.9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \frac{2}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 7.9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.9.2.1

Cancela el factor común.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \frac{2}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 7.9.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 1 \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 7.9.3

Multiplica $\int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$ por $1$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 7.10

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u_{3}$ y $dv = e^{u_{3}}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + u_{3} e^{u_{3}} - \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Paso 7.11

La integral de $e^{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $e^{u_{3}}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + u_{3} e^{u_{3}} - (e^{u_{3}} + C)$

Paso 7.12

Simplifica.

$e^{x^{2}} y = u_{2} + u_{3} e^{u_{3}} - e^{u_{3}} + C$

Paso 7.13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 7.13.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = e^{x^{2}} + u_{3} e^{u_{3}} - e^{u_{3}} + C$

Paso 7.13.2

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = e^{x^{2}} + x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C$

Paso 7.14

Simplifica.

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Paso 7.14.1

Resta $e^{x^{2}}$ de $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + 0 + C$

Paso 7.14.2

Suma $x^{2} e^{x^{2}}$ y $0$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $e^{x^{2}}$ .

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Paso 8.3.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$