Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{3 y^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2} \cdot 3}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{3}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = \frac{x - 1}{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x - 1}{3} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x - 1}{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x - 1 d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int x d x + \int - 1 d x)$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 1 d x)$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - x) + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - x) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combinar.

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3} (- x) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$y^{3} = 3 (\frac{1 x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.5.1

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{3 \cdot 2} - \frac{x}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 (2)} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.1.2

Cancela el factor común.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \frac{x}{3}) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{3}$ al numerador.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} + 3 \frac{- x}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{2} - x + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x + 3 K}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $- x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

Paso 3.4.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $- x$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Paso 3.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Paso 3.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - x \cdot 2$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x - x \cdot 2}{2} + 3 K}$

Paso 3.4.3.1.2

Factoriza $x$ de $- x \cdot 2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

Paso 3.4.3.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 1 \cdot 2)}{2} + 3 K}$

Paso 3.4.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K}$

Paso 3.4.4

Para escribir $3 K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + 3 K \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 3.4.5

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.5.1

Combina $3 K$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2)}{2} + \frac{3 K \cdot 2}{2}}$

Paso 3.4.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (x - 2) + 3 K \cdot 2}{2}}$

Paso 3.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

Paso 3.4.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 3 K \cdot 2}{2}}$

Paso 3.4.6.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 3 K \cdot 2}{2}}$

Paso 3.4.6.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$

Paso 3.4.7

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2 x + 6 K}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$

Paso 3.4.8

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.9

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.9.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.9.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Paso 3.4.9.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.9.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Paso 3.4.9.5

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Paso 3.4.9.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.9.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.9.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.9.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.9.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.9.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Paso 3.4.9.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Paso 3.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.10.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Paso 3.4.10.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 6 K} \sqrt[3]{4}}{2}$

Paso 3.4.11

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.4.11.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$

Paso 3.4.11.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{(x^{2} - 2 x + 6 K) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + 6 K)}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{2} - 2 x + K)}}{2}$