Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cos (x^{2})}{4 y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{4 y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y$ de $4 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{y \cdot 4}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{y \cdot 4}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cos (x^{2})}{4}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x \cos (x^{2}) d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \int \cos (u) d u$

Paso 2.3.6

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} (\sin (u) + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \sin (u) + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \sin (x^{2}) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $\sin (x^{2})$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x^{2})}{8} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{8} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{2 (4)} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{2 \cdot 4} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + K}$