Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y - y$ , $y (1) = - 3$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $4 x^{3} y - y$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $y$ de $4 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) - y$

Paso 1.1.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$

Paso 1.1.3

Factoriza $y$ de $y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3} - 1)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{3} - 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = x^{4} - x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{4} - x + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = x^{4} - x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{4} - x + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{x^{4} - x + C}$ .

$| y | = e^{x^{4} - x + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{4} - x + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{x^{4} - x + C}$ como $e^{x^{4} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{4} - x} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{x^{4} - x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{4} - x}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{x^{4} - x}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $- 3$ por $y$ en $y = C e^{x^{4} - x}$ .

$- 3 = C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$ .

$C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$

Paso 6.2

Simplifica $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$ .

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$C e^{1 - 1 \cdot 1} = - 3$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$C e^{1 - 1} = - 3$

Paso 6.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$C e^{0} = - 3$

Paso 6.2.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$C \cdot 1 = - 3$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $C$ por $1$ .

$C = - 3$

Paso 7

Sustituye $- 3$ por $C$ en $y = C e^{x^{4} - x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $- 3$ por $C$ .

$y = - 3 e^{x^{4} - x}$