Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - x^{2}}{3 x y}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Divide $\frac{y^{2} - x^{2}}{3 x y}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide la fracción $\frac{y^{2} - x^{2}}{3 x y}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{3 x y} + \frac{- x^{2}}{3 x y}$

Paso 1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{3 x y} + \frac{- x^{2}}{3 x y}$

Paso 1.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1.2.1

Factoriza $y$ de $3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (3 x)} + \frac{- x^{2}}{3 x y}$

Paso 1.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (3 x)} + \frac{- x^{2}}{3 x y}$

Paso 1.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x} + \frac{- x^{2}}{3 x y}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x} + \frac{x (- x)}{3 x y}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x} + \frac{x (- x)}{x (3 y)}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x} + \frac{x (- x)}{x (3 y)}$

Paso 1.1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x} + \frac{- x}{3 y}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x} - \frac{x}{3 y}$

Paso 1.2

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{3 x}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{3 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{3} - \frac{x}{3 y}$

Paso 1.2.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{y}{x} - \frac{x}{3 y}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $\frac{x}{y}$ de $\frac{x}{3 y}$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $\frac{x}{y}$ de $\frac{x}{3 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 1.3.1.2

Reordena $\frac{x}{y}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{x}{y})$

Paso 1.3.2

Reescribe $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{3} {(\frac{y}{x})}^{- 1})$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} V - (\frac{1}{3} V^{- 1})$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{3} V - (\frac{1}{3} V^{- 1})$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{3} - \frac{1}{3} V^{- 1}$

Paso 6.1.1.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{V}$

Paso 6.1.1.1.3

Multiplica $\frac{1}{V}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{3} - \frac{1}{V \cdot 3}$

Paso 6.1.1.1.4

Mueve $3$ a la izquierda de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{3} - \frac{1}{3 V}$

Paso 6.1.1.2

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} - \frac{1}{3 V} - V$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} - \frac{1}{3 V} - V$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} - \frac{1}{3 V} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{3}}{x} + \frac{- \frac{1}{3 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{3}}{x} + \frac{- \frac{1}{3 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{3}}{x} + \frac{- \frac{1}{3 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{3} - \frac{1}{3 V} - V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2

Para escribir $- V$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V}{3} - V \cdot \frac{3}{3}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.1.3.3.3.1

Combina $- V$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V}{3} + \frac{- V \cdot 3}{3}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V - V \cdot 3}{3}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.3.3.3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Factoriza $V$ de $V - V \cdot 3$ .

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Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 3}{3}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Factoriza $V$ de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 3}{3}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Factoriza $V$ de $- V \cdot 3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 3)}{3}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Factoriza $V$ de $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 3)}{3}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V (1 - 3)}{3}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V \cdot - 2}{3}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{- 2 \cdot V}{3}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} - \frac{2 V}{3}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.4.1

Factoriza $- 1$ de $- \frac{1}{3 V} - \frac{2 V}{3}$ .

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Paso 6.1.1.3.3.4.1.1

Reordena $- \frac{1}{3 V}$ y $- \frac{2 V}{3}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{2 V}{3} - \frac{1}{3 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \frac{2 V}{3}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{2 V}{3}) - \frac{1}{3 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.1.3

Factoriza $- 1$ de $- \frac{1}{3 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{2 V}{3}) - (\frac{1}{3 V})}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (\frac{2 V}{3}) - (\frac{1}{3 V})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{2 V}{3} + \frac{1}{3 V})}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.2

Para escribir $\frac{2 V}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{2 V}{3} \cdot \frac{V}{V} + \frac{1}{3 V})}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.3

Multiplica $\frac{2 V}{3}$ por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{2 V \cdot V}{3 V} + \frac{1}{3 V})}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{2 V \cdot V + 1}{3 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.5

Multiplica $V$ por $V$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.3.3.4.5.1

Mueve $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{2 (V \cdot V) + 1}{3 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.5.2

Multiplica $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{2 V^{2} + 1}{3 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V^{2} + 1}{3 V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.6

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{2 V^{2} + 1}{3 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V^{2} + 1}{x (3 V)}$

Paso 6.1.1.3.3.7

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V^{2} + 1}{3 x V}$

Paso 6.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V^{2} + 1}{3 V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{3 V}{2 V^{2} + 1}$ .

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2 V^{2} + 1} (- \frac{2 V^{2} + 1}{3 V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{3 V}{2 V^{2} + 1} (\frac{2 V^{2} + 1}{3 V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2

Multiplica $\frac{2 V^{2} + 1}{3 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{3 V x}$

Paso 6.1.4.3

Cancela el factor común de $3 V$ .

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Paso 6.1.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 V}{2 V^{2} + 1}$ al numerador.

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 3 V}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{3 V x}$

Paso 6.1.4.3.2

Factoriza $3 V$ de $- 3 V$ .

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V (- 1)}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{3 V x}$

Paso 6.1.4.3.3

Factoriza $3 V$ de $3 V x$ .

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V (- 1)}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{3 V (x)}$

Paso 6.1.4.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V \cdot - 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{3 V x}$

Paso 6.1.4.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{x}$

Paso 6.1.4.4

Cancela el factor común de $2 V^{2} + 1$ .

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Paso 6.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{x}$

Paso 6.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} d V = - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{3 V}{2 V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $V$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{V}{2 V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Sea $u = 2 V^{2} + 1$ . Entonces $d u = 4 V d V$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = V d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Deja $u = 2 V^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Diferencia $2 V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [2 V^{2} + 1]$

Paso 6.2.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 V^{2} + 1$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [2 V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [2 V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 6.2.2.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d V} [2 V^{2}]$ .

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Paso 6.2.2.2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $2 V^{2}$ con respecto a $V$ es $2 \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 6.2.2.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 V) + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 6.2.2.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 V + \frac{d}{d V} [1]$

Paso 6.2.2.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.2.2.2.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $1$ con respecto a $V$ es $0$ .

$4 V + 0$

Paso 6.2.2.2.1.4.2

Suma $4 V$ y $0$ .

$4 V$

Paso 6.2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u$ .

$3 \int \frac{1}{4 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $3$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7

Simplifica.

$\frac{3}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 V^{2} + 1$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{3}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 6.2.3.3

Simplifica.

$\frac{3}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |)) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1.1

Simplifica $\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |))$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $\ln (| 2 V^{2} + 1 |)$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |)}{4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2

Combinar.

$\frac{4 (3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |))}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |))}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |)}{3} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |)}{3} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.4.2

Divide $\ln (| 2 V^{2} + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica $\frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |)) + \frac{4}{3} C$

Paso 6.3.2.2.1.2

Combina $\frac{4}{3}$ y $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4}{3} C$

Paso 6.3.2.2.1.3

Combina $\frac{4}{3}$ y $C$ .

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$

Paso 6.3.3

Multiplica cada término en $\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$ por $3$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1

Multiplica cada término en $\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$ por $3$ .

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) \cdot 3 = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (| 2 V^{2} + 1 |)$ .

$3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Paso 6.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.3.3.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 \ln (| x |)}{3}$ al numerador.

$3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = \frac{- 4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Paso 6.3.3.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = \frac{- 4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Paso 6.3.3.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - 4 \ln (| x |) + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Paso 6.3.3.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - 4 \ln (| x |) + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Paso 6.3.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - 4 \ln (| x |) + 4 C$

Paso 6.3.4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

Paso 6.3.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.5.1

Simplifica $3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + 4 \ln (| x |)$ .

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Paso 6.3.5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.5.1.1.1

Simplifica $3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| 2 V^{2} + 1 |}^{3}) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

Paso 6.3.5.1.1.2

Simplifica $4 \ln (| x |)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| 2 V^{2} + 1 |}^{3}) + \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Paso 6.3.5.1.1.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln ({| 2 V^{2} + 1 |}^{3}) + \ln (x^{4}) = 4 C$

Paso 6.3.5.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 2 V^{2} + 1 |}^{3} x^{4}) = 4 C$

Paso 6.3.5.1.3

Reordena los factores en $\ln ({| 2 V^{2} + 1 |}^{3} x^{4})$ .

$\ln (x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3}) = 4 C$

Paso 6.3.6

Para resolver $V$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3})} = e^{4 C}$

Paso 6.3.7

Reescribe $\ln (x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3}) = 4 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3}$

Paso 6.3.8

Resuelve $V$

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Paso 6.3.8.1

Reescribe la ecuación como $x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3} = e^{4 C}$ .

$x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3} = e^{4 C}$

Paso 6.3.8.2

Divide cada término en $x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3} = e^{4 C}$ por $x^{4}$ y simplifica.

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Paso 6.3.8.2.1

Divide cada término en $x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3} = e^{4 C}$ por $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Paso 6.3.8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.8.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 6.3.8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Paso 6.3.8.2.2.1.2

Divide ${| 2 V^{2} + 1 |}^{3}$ por $1$ .

${| 2 V^{2} + 1 |}^{3} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Paso 6.3.8.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$| 2 V^{2} + 1 | = \sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x^{4}}}$

Paso 6.3.8.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x^{4}}}$ .

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Paso 6.3.8.4.1

Reescribe $\frac{e^{4 C}}{x^{4}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{4 C}}{x}$ .

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Paso 6.3.8.4.1.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{3}$ de $e^{4 C}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{4}}}$

Paso 6.3.8.4.1.2

Factoriza la potencia perfecta $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{3} x}}$

Paso 6.3.8.4.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{3} x}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{4 C}}{x}}$

Paso 6.3.8.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x}}$

Paso 6.3.8.4.3

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x}}$ como $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 6.3.8.4.4

Combinar.

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Paso 6.3.8.4.5

Multiplica $\sqrt[3]{e^{4 C}}$ por $1$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Paso 6.3.8.4.6

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Paso 6.3.8.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.8.4.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Paso 6.3.8.4.7.2

Mueve $\sqrt[3]{x}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x (\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Paso 6.3.8.4.7.3

Eleva $\sqrt[3]{x}$ a la potencia de $1$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x ({\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Paso 6.3.8.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Paso 6.3.8.4.7.5

Suma $1$ y $2$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Paso 6.3.8.4.7.6

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 6.3.8.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 6.3.8.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 6.3.8.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Paso 6.3.8.4.7.6.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.8.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Paso 6.3.8.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{1}}$

Paso 6.3.8.4.7.6.5

Simplifica.

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x}$

Paso 6.3.8.4.8

Multiplica $x$ por $x$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{2}}$

Paso 6.3.8.4.9

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}$

Paso 6.3.8.4.10

Combina con la regla del producto para radicales.

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C} x^{2}}}{x^{2}}$

Paso 6.3.8.4.11

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C} x^{2}}}{x^{2}}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}$

Paso 6.3.8.5

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 V^{2} + 1 = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}$

Paso 6.3.8.6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 V^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1$

Paso 6.3.8.7

Divide cada término en $2 V^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.3.8.7.1

Divide cada término en $2 V^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 V^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 6.3.8.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.8.7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.8.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 V^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 6.3.8.7.2.1.2

Divide $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 6.3.8.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.8.7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 6.3.8.8

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 6.3.8.9

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} - \frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.8.9.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1}{2}}$

Paso 6.3.8.9.2

Reescribe $\sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.3.8.9.3

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.3.8.9.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.8.9.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 6.3.8.9.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 6.3.8.9.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 6.3.8.9.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 6.3.8.9.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 6.3.8.9.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.3.8.9.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.3.8.9.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.3.8.9.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.8.9.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.8.9.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.8.9.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 6.3.8.9.4.6.5

Evalúa el exponente.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{2}$

Paso 6.3.8.9.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1) \cdot 2}}{2}$

Paso 6.4

Simplifica la constante de integración.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} - 1) \cdot 2}}{2}$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} - 1) \cdot 2}}{2}$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} - 1) \cdot 2}}{2}$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} - 1) \cdot 2}}{2}) x$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} - 1) \cdot 2}}{2}) x$

Paso 8.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} - 1) \cdot 2}}{2}) x$