Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} = y + x y$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = y + x y$ por $x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = y + x y$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Paso 1.1.3.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

Paso 1.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x} + y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y$

Paso 1.2.1.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y^{1}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y \cdot 1$

Paso 1.2.1.4

Factoriza $y$ de $y \frac{1}{x} + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} + 1)$

Paso 1.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} + \frac{x}{x})$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x})$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x})$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Paso 2.3.5

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

Paso 3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{x + C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de $| x |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{x + C} | x |$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{x + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{x + C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{x + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{x} e^{C})$

Paso 4.2

Reordena $e^{x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{x})$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C | x | e^{x}$