Cálculo Ejemplos

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$ , $u (0) = - 6$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $u$ .

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $u$ de $2 u$ .

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$u \frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$u d u = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int u d u = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 t + \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Paso 2.3.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t)$

Paso 2.3.5

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} u^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\tan (t)$ .

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{\tan (t)}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.1.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} = t^{2} + \tan (t) + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$u = \pm \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

Paso 5

Como $u$ es negativa en la condición inicial $(0, - 6)$ , solo considera $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ para obtener $K$ . Sustituye $0$ por $t$ y $- 6$ por $u$ .

$- 6 = - \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 6$ .

$- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 6$

Paso 6.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$ como ${(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica ${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(- {(0 + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

${(- {(0 + 0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 6.3.2.1.2.1

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + K$ .

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Paso 6.3.2.1.2.1.1

Suma $0$ y $0$ .

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.2.1.2

Suma $0$ y $K$ .

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.2.1.2.2.1

Aplica la regla del producto a $- K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.2.2.3

Multiplica ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.2.2.4

Multiplica los exponentes en ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.2.2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.2.2.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.2.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.2.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$K^{1} = {(- 6)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.3

Simplifica.

$K = {(- 6)}^{2}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$K = 36$

Paso 7

Sustituye $36$ por $K$ en $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $36$ por $K$ .

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 36}$