Cálculo Ejemplos

$(9 x^{2} + y - 1) d x - (4 y - x) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 9 x^{2} + y - 1$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [9 x^{2} + y - 1]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 1.3

Como $9 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 1.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + 0$

Paso 1.6

Combina los términos.

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Paso 1.6.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Paso 1.6.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (4 y - x)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (4 y - x)]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (4 y - x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [4 y - x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [4 y - x]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 y - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.4

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7

Multiplica.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7.2

Multiplica $\frac{d}{d x} [x]$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$1 = 1$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (4 y - x) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = - (4 y - x)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \int 4 y - x d y$

Paso 5.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = - (\int 4 y d y + \int - x d y)$

Paso 5.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - (4 \int y d y + \int - x d y)$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x d y)$

Paso 5.5

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - (4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x y + C)$

Paso 5.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (4 (\frac{y^{2}}{2} + C) - x y + C)$

Paso 5.7

Simplifica.

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 9 x^{2} + y - 1$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y) + g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- (2 y^{2} - x y) + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)]$ .

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Paso 8.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (2 y^{2} - x y)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [2 y^{2} - x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [2 y^{2} - x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y^{2} - x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Paso 8.3.3

Como $2 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d x} [- x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Paso 8.3.4

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (0 - y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Paso 8.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (0 - y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Paso 8.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (0 - y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Paso 8.3.7

Resta $y$ de $0$ .

$- - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Paso 8.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Paso 8.3.9

Multiplica $y$ por $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + y - 1$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + y = 9 x^{2} + y - 1$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + y - 1 - y$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $9 x^{2} + y - 1 - y$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + 0 - 1$

Paso 9.1.2.2

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} - 1$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $9 x^{2} - 1$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} - 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 9 x^{2} - 1 d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 9 x^{2} - 1 d x$

Paso 10.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int 9 x^{2} d x + \int - 1 d x$

Paso 10.4

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$g (x) = 9 \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Paso 10.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 1 d x$

Paso 10.6

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - x + C$

Paso 10.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$g (x) = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C) - x + C$

Paso 10.8

Simplifica.

$g (x) = 3 x^{3} - x + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + 3 x^{3} - x + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = - (2 y^{2}) - (- x y) + 3 x^{3} - x + C$

Paso 12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} - (- x y) + 3 x^{3} - x + C$

Paso 12.3

Multiplica $- (- x y)$ .

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Paso 12.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} + 1 (x y) + 3 x^{3} - x + C$

Paso 12.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} + x y + 3 x^{3} - x + C$