Cálculo Ejemplos

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$ , $r (1) = e$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $r$ de $r θ + r$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $r$ de $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

Paso 1.1.2

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

Paso 1.1.3

Factoriza $r$ de $r^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

Paso 1.1.4

Factoriza $r$ de $r (θ) + r \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

Paso 1.2

Factoriza $θ$ de $r θ + θ$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $θ$ de $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

Paso 1.2.2

Eleva $θ$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

Paso 1.2.3

Factoriza $θ$ de $θ^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

Paso 1.2.4

Factoriza $θ$ de $θ r + θ \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{r + 1}{r}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{r}{r + 1}$ por $\frac{θ + 1}{θ}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $r + 1$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $r + 1$ de $(r + 1) θ$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{r}$ con respecto a $r$ es $\ln (| r |)$ .

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $θ$ .

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{θ}$ con respecto a $θ$ es $\ln (| θ |)$ .

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $θ$ y de $e$ por $r$ en $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ .

$e + \ln (| e |) = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$ .

$1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 |) - \ln (| e |) = - 1 - C + e$

Paso 4.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| e |}) = - 1 - C + e$

Paso 4.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{1}{| e |}) = - 1 - C + e$

Paso 4.5

$e$ es aproximadamente $2.71828182$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{1}{e}) = - 1 - C + e$

Paso 4.6

Reescribe $\frac{1}{e}$ como $1 e^{- 1}$ .

$\ln (1 e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Paso 4.7

Reescribe $\ln (1 e^{- 1})$ como $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\ln (1) + \ln (e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Paso 4.8

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\ln (1) - \ln (e) = - 1 - C + e$

Paso 4.9

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (1) - 1 \cdot 1 = - 1 - C + e$

Paso 4.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (1) - 1 = - 1 - C + e$

Paso 4.11

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$0 - 1 = - 1 - C + e$

Paso 4.12

Resta $1$ de $0$ .

$- 1 = - 1 - C + e$

Paso 4.13

Como $C$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- 1 - C + e = - 1$

Paso 4.14

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.14.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- C + e = - 1 + 1$

Paso 4.14.2

Resta $e$ de ambos lados de la ecuación.

$- C = - 1 + 1 - e$

Paso 4.14.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$- C = 0 - e$

Paso 4.14.4

Resta $e$ de $0$ .

$- C = - e$

Paso 4.15

Divide cada término en $- C = - e$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.15.1

Divide cada término en $- C = - e$ por $- 1$ .

$\frac{- C}{- 1} = \frac{- e}{- 1}$

Paso 4.15.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.15.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{C}{1} = \frac{- e}{- 1}$

Paso 4.15.2.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{- e}{- 1}$

Paso 4.15.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.15.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$C = \frac{e}{1}$

Paso 4.15.3.2

Divide $e$ por $1$ .

$C = e$

Paso 5

Sustituye $e$ por $C$ en $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $e$ por $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + e$