Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{x - 1}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{x - 1}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{x - 1}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x - 1}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = y + 1$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = y + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = x - 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| x - 1 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \ln (| x - 1 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x - 1 |) = C$

Paso 3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x - 1 |}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x - 1 |})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x - 1 |}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 1 |}{| x - 1 |}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y + 1 |}{| x - 1 |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x - 1 |} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por $| x - 1 |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x - 1 |} | x - 1 | = e^{C} | x - 1 |$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de $| x - 1 |$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y + 1 |}{| x - 1 |} | x - 1 | = e^{C} | x - 1 |$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y + 1 | = e^{C} | x - 1 |$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

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Paso 3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} | x - 1 |$ .

$| y + 1 | = | x - 1 | e^{C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | x - 1 | e^{C}$

Paso 3.5.4.3

Reordena los factores en $\pm | x - 1 | e^{C}$ .

$y + 1 = \pm e^{C} | x - 1 |$

Paso 3.5.4.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{C} | x - 1 | - 1$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm C | x - 1 | - 1$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C | x - 1 | - 1$