Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3 y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3 y^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{y^{2} \cdot 3}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{y^{2} \cdot 3}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int 4 x^{3} + 3 x^{2} + 1 d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int 4 x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Paso 2.3.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 \int x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Paso 2.3.5

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 \int x^{2} d x + \int d x)$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int d x)$

Paso 2.3.7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Paso 2.3.8.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Paso 2.3.8.2

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.1.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{3} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{3} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = x^{4} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y^{3} = x^{4} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + x + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{x^{4} + x^{3} + x + 3 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{x^{4} + x^{3} + x + K}$