Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x y}$ , $y (1) = 2$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{\ln (x)}{x}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x y}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.3.1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int u d u$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln^{2} (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln^{2} (x)}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = \ln^{2} (x) + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

Paso 5

Como $y$ es positiva en la condición inicial $(1, 2)$ , solo considera $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ para obtener $K$ . Sustituye $1$ por $x$ y $2$ por $y$ .

$2 = \sqrt{\ln^{2} (1) + K}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$ .

$\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$

Paso 6.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{\ln^{2} (1) + K}}^{2} = 2^{2}$

Paso 6.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\ln^{2} (1) + K}$ como ${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica ${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\ln^{2} (1) + K)}^{1} = 2^{2}$

Paso 6.3.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.2.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

${(0^{2} + K)}^{1} = 2^{2}$

Paso 6.3.2.1.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{2}$

Paso 6.3.2.1.3

Simplifica mediante la adición de ceros.

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Paso 6.3.2.1.3.1

Suma $0$ y $K$ .

$K^{1} = 2^{2}$

Paso 6.3.2.1.3.2

Simplifica.

$K = 2^{2}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$K = 4$

Paso 7

Sustituye $4$ por $K$ en $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $4$ por $K$ .

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 4}$