Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x y + x^{2}$

Paso 1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - x y = x^{2}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - x$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - x d x}$

Paso 2.2

Integra $- x$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int x d x}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 2.2.3

Reescribe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

Paso 2.4

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Paso 3.3

Reordena los factores en $e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Sea $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ . Entonces $d u_{1} = - x d x$ , de modo que $- \frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.1.1

Deja $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1.1

Diferencia $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Paso 7.1.1.2

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 7.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x)$

Paso 7.1.1.4

Simplifica los términos.

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Paso 7.1.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x$

Paso 7.1.1.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x$

Paso 7.1.1.4.3

Combina $\frac{- 2}{2}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{2}$

Paso 7.1.1.4.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 7.1.1.4.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2}$

Paso 7.1.1.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.1.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Paso 7.1.1.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.1.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{1}$

Paso 7.1.1.4.4.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$- x$

Paso 7.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int - \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - \int \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = e^{u_{1}}$ y $d v = \sqrt{- 2 u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 7.4.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.4

Combina ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.5

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.6

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.7

Multiplica $3$ por $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.8

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 7.4.8.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.8.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.8.2.2

Cancela el factor común.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.8.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.9

Combina ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.4.10

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Paso 7.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Paso 7.6

Simplifica.

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Paso 7.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Paso 7.6.2

Multiplica $\int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ por $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Paso 7.7

Dado que $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ fuera de la integral.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7.8

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Paso 7.9

Simplifica.

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Paso 7.9.1

Reescribe $- (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ como $- (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Paso 7.9.2

Simplifica.

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Paso 7.9.2.1

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}}}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Paso 7.9.2.2

Combina ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Paso 7.9.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Paso 7.9.2.4

Combina $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $e^{u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Paso 7.9.2.5

Suma $- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ y $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - 0 + C$

Paso 7.9.2.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Paso 7.9.2.7

Suma $0$ y $C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ por $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ por $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$